В 1840 году в заметке, опубликованной в "Известиях Академии наук, Огюстен Коши предложил новый способ записи чисел двумя видами цифр:
Представим, что в числе, записанном цифрами, мы ставим знак над цифрой, соответствующей единицам определенного порядка, чтобы выразить, что единицы этого порядка действительно должны быть взяты со знаком −. В каждом числе можно выделить два вида цифр, одни положительные, другие отрицательные. [.../...] При этом, очевидно, можно записать любое число цифрами, числовое значение которых не более 5.
Чтобы облегчить чтение этого текста, во всех последующих разделах мы будем писать красным цветом числа, записанные в обозначениях, предложенных Коши.
Вот числа от 1 до 20, записанные в нотации Коши :
Обратите внимание, что написание числа не является уникальным :
Написание противоположного числа тривиально, нам просто нужно поставить черту на тех числах, у которых ее нет, убрать ее на тех, у которых она есть, и не трогать нули.
Сложение
Сложение чисел, написанных а-ля Коши, не представляет сложности, просто нужно выучить новые таблицы сложения.
Но необходимо быть готовым к использованию отрицательных чисел там, где их обычно нет:
Вычитание двух чисел не представляет никаких трудностей: это просто сложение одного числа и противоположного другому!
Переход между системами записи
Переход осуществляется без труда:
Очевидно, что мы можем записать любое число цифрами, числовое значение которых не превышает 5. Для достижения этой цели будет достаточно заменить в числе, записанном в соответствии с полученным обозначением, каждую непрерывную последовательность положительных цифр, превышающих 4, отрицательными цифрами, которые образуют с точностью до знака., арифметическое дополнение к этой последовательности, добавляя к предшествующей ей цифре всего одну единицу. Если бы последней цифрой в наборе было 5, в крайнем случае можно было бы не обращать на нее внимания и исключить ее из набора.
И наоборот :
Кроме того, чтобы выразить с помощью полученных обозначений значение числа, записанного этими двумя видами цифр, необходимо заменить каждую непрерывную последовательность отрицательных цифр, расположенных сразу одна за другой, арифметическим дополнением к этой последовательности и уменьшить на единицу положительную цифру, которая ее содержит.
Что дает пример :
Умножение
Коши так обосновывает свои обозначения :
Поскольку числа, как только что было сказано, выражаются цифрами, числовое значение которых не превышает 5, сложение, вычитание, умножение, деление, преобразование обычных дробей в десятичные дроби и другие операции арифметики будут значительно упрощены. Таким образом, в частности, таблицу умножения можно будет уменьшить до четверти ее объема, и нам больше не придется выполнять частичное умножение только на одни цифры 2,3,4=2×2 и 5=102. Кроме того, мы должны помнить, что произведение двух цифр одного и того же вида является положительным, в то время как произведение двух цифр разных видов, то есть одной положительной, другой отрицательной, будет отрицательным.
Таблицы умножения, которые нужно знать, - это не что иное, как :
Действительно, проводя умножение так, как нас учили в начальной школе , мы получаем :
Деление
Странно, но Коши не привел ни одного примера реализации деления. Но мы попробуем:
Считать как наши компьютеры
В 1961 году Альгирдас Антанас Авиженис предложил метод, очень похожий на метод Коши. Числа записываются одинаково положительными и отрицательными числами, но с большим разнообразием, чем это строго необходимо, и не обязательно с основанием 10. Одно и то же число также имеет несколько начертаний. Этот метод позволяет распараллеливать вычисления, чтобы арифметические операции выполняются быстрее.
В заключении
Экономия на изучении нескольких таблиц умножения окупается необходимостью определенной ловкости в обращении со знаками. Впрочем, цель Коши заключалась не в том, чтобы его метод заменил классическое исчисление, а только в том, чтобы он использовался параллельно.
- Спасибо за внимание!
- Источник: https://images.math.cnrs.fr