Центр масс стакана: точный геометрический расчет, интегралы, приближение тонкостенного стакана

Здравствуйте, друзья! Цель этой статьи - рассчитать положение центра масс стакана. Будет много формул. Зачем это нужно, писать не буду: те, кто ищет в интернете эту информацию, и так знают это для себя. А кому это не надо, можете не читать - статья носит не развлекательный характер. Для начала общие предположения:

• Стакан сделан из однородного материала.
• Стенки стакана имеют одинаковую толщину
• Дно стакана имеет одинаковую толщину
• Стакан цилиндрический, симметричный.

Рекомендую интересующимся взять ручку и бумагу, и воспроизводить выкладки. Просто так смотреть на формулы пользы мало, и непонятно будет. Элементарные алгебраические преобразования вроде раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых я опускаю. Их можно проделать самостоятельно на бумаге, выписывать их в статье очень неудобно.

Рис. 1. Обозначения геометрических параметров стакана

Разбиение стакана

Стакан - сложное тело, в вертикальном направлении он несимметричен, и центр его масс не находится посередине. Чтобы рассчитать положение центра масс, можно разбить стакан на два простых симметричных тела, центр масс которых находится посередине. Такое разбиение можно сделать несколькими способами:

1. Полый цилиндр из стекла диаметром D, толщиной d и высотой h, и сплошной цилиндр из стекла диаметром D-2d и высотой h;
2. Полый цилиндр из стекла диаметром D, толщиной d и высотой H-h, и сплошной цилиндр из стекла диаметром D и высотой h.
3. Сплошной цилиндр из стекла диаметром D и высотой H, и сплошной цилиндр из материала с отрицательной плотностью, по модулю равной плотности стекла, диаметром D-2d и высотой H-h.

Чтобы было яснее, изобразила картиночку схематичную:

Рис.2 Способы разбиения стакана. Разным цветом обозначены разные тела.

Два первых способа отличаются различным определением стенок и дна, а третий похитрее, с отрицательной массой. Хоть в природе не бывает отрицательных плотностей, но такую хитрость часто используют в задачках с отверстиями в сплошных телах. Мы как бы вынимаем внутреннюю часть стакана. Возможно, есть и другие способы разбиения, но я больше не придумала, если есть идеи - пишите в комментариях.

Для определения координаты центра масс используем общую формулу.

Рис. 3. Общая формула координаты центра масс для двух материальных точек.

Ось y направлена вертикально вверх. За начало координат примем дно стакана. На следующих слайдах приведен вывод координаты центра масс для всех трех способов разбиения (листайте галерею).

Рис.4. Вывод формулы для положения центра масс стакана тремя способами.

Как видим, итоговая формула при всех трех способах получается одна и та же, что не удивительно. Выпишу её отдельно.

Рис.5. Итоговая формула центра масс стакана

Проверить правильность формулы можно так. При h=0 (стакан без дна) центр масс должен быть на высоте H/2. При d=0 (только дно, без стенок), должно быть h/2. При d=D/2 или h=H (сплошной цилиндр из стекла) центр масс должен быть на высоте H/2. Так и выходит по формуле.

Интегрирование

Для тех, кто не любит "школьной" физики, представляю способ расчёта с помощью интегралов. Разбиваем стакан на элементы, массу элемента считаем функцией вертикальной координаты y. Общая формула центра масс и вывод его для стакана приведены на рисунке.

Рис.6. Вывод формулы центра масс стакана с помощью интегралов

Не удивительно, что эта формула совпала с уже полученной ранее формулой, приведенной на рисунке 5. Так и должно быть, стакан-то один!

Нормированные параметры

Анализировать такую заковыристую формулу достаточно трудно. Для практики важно знать, какие взять пропорции стакана для решения задачи устойчивости. Сами по себе геометрические размеры при этом не важны, а важны соотношения. Поэтому логично ввести нормированные параметры. Например, отношение толщины дна к высоте стакана, толщины стенок к диаметру стакана. Также введем отношение координаты центра масс к высоте стакана. Все эти нормированные величины безразмерные.

Рис.7. Нормированная координата центра масс через относительные толщины стенок и дна.

Тонкостенный и тонкодонный стакан

Чтобы упростить формулу, можно ввести несколько дополнительных предположений.

Например, если толщина стенок намного меньше диаметра, стакан можно считать тонкостенным.

Рис.8. В формуле на рисунке 7 убираем лишнее и преобразуем.

Если толщина дна намного меньше высоты стакана, то стакан можно считать тонкодонным.

Рис.9. Центр масс тонкодонного стакана

Наконец, будем считать малыми оба параметра, и относительную толщину стенок, и относительную толщину дна.

Рис. 10. Максимальное упрощение.

Практическая задача

Чтобы приблизить это немного к практике, рассмотрим такую задачку. Пусть высота тонкостенного и тонкодонного стакана составляет 12 см, диаметр стакана 8 см, а толщина дна в два раза больше толщины стенок. Возвращаемся от относительных единиц к абсолютным и считаем:

Рис. 11. Решение расчётной задачи.

Ответ совпал с уже имеющейся в интернете информацией по данной задаче. Например, на этой странице приведено решение для данных геометрических параметров. Там решение занимает гораздо меньше места, поскольку сразу считают стакан тонкостенным и тонкодонным, центр масс дна на нуле, объём стенок считают как площадь боковой поверхности на толщину. В этом случае выкладки, конечно, намного проще.

Но я не ищу лёгких путей, постаралась написать формулы в самом общем виде и ввести несколько приближений. Надеюсь, эта статья будет полезна и заполнит имеющийся в интернете недостаток информации о расчёте центра масс стакана.

Спасибо, что прочитали до конца! Буду рада лайкам и новым подписчикам. Ваш Великий Шизик.