Автор Дэниел Молленкамп
Профессора колледжей выводят матанализ за его традиционные пределы, чтобы помочь большему количеству студентов добиться успеха в высшей математике.
Профессор математики Мартин Вайсман переосмысливает то, как в его университете преподают математический анализ.
Летом профессор Калифорнийского университета в Санта-Крузе провел неделю в Гарварде, чтобы научиться перепроектировать математику для курсов наук о жизни, которые предлагает его институт. Эти курсы, получившие название Math 11 A и B, которые студенты посещают на первом и втором курсах, представляют собой «дырявый трубопровод», говорит Вайсман. Он добавляет, что тысячи студентов проходят обучение на факультете биологических наук университета, но многие из них не получают дипломов в этих областях.
Если вы сойдете с этого пути, это может лишить студентов возможности заниматься наукой, технологиями, инженерией и математикой (STEM). И, несмотря на некоторый «неравномерный» прогресс в последние годы, области STEM не так разнообразны, как хотелось бы лидерам отрасли. Некоторые преподаватели возлагают вину на курсы математического анализа, которые могут оттолкнуть заинтересованных студентов.
Этот феномен Вайсман заметил в своем университете. «Для этих специальностей существуют требования по математике. А студенты постепенно уходят и меняют специальности, потому что у них проблемы с математикой», — говорит он.
По словам Вайсмана, в Калифорнийском университете в Санта-Крусе из этого дырявого трубопровода непропорционально вытекает много недопредставленных студентов. В их число входят студенты из числа чернокожих, американских индейцев, коренных жителей Аляски и латиноамериканцев. Биологи в школе смотрят на математику, преподаваемую на традиционных курсах математического анализа, добавляет он, и задаются вопросом, почему ее вообще преподают, ведь математика практически бесполезна для этой области. Между тем, обучение математическому анализу приходится настолько замедлять, поэтому оно не было настолько эффективным для математиков, насколько могло бы быть.
«Я думаю, что мы находимся в некомфортной зоне, где многие занятия по математическому анализу никому не служат», — заключает Вайсман.
По всей стране бушуют «математические войны» из-за попыток повысить равенство за счет исключения математических вычислений из учебной программы в пользу статистики или информатики или за счет отсрочки начала занятий алгеброй. Но происходит и более тихая революция, которая применяет другую стратегию для достижения тех же принципов. Его цель – не отказаться от математического анализа, а, скорее, перенести преподавание математического анализа в 21 век, обучая студентов, используя решения реальных задач. Сторонники утверждают, что изменение способа преподавания математического анализа помогает большему количеству студентов найти математику доступной и актуальной, что повышает вероятность успеха в ее изучении.
Это более отзывчивый подход, который Вайсман изучал в июле в Гарварде, где он присоединился к двум дюжинам других преподавателей колледжей со всей страны, спрятавшись в кондиционированных комнатах Гарвардского научного центра с досками на стенах. Недельное обучение длилось с утра до вечера, с дружескими перерывами на обед в профессорско-преподавательском зале или в оживленном кафе в вестибюле Научного центра. Преподаватели читали лекции по педагогике, тонкостям математики и тому, как ее применять к реальным биологическим проблемам.
Сессии были склонны к объяснениям, например, о том, как «моделирование, основанное на физике», стало модным словечком в Голливуде, ведущие анимационные команды использовали методы моделирования для таких хитов, как «Холодное сердце», «Храбрая сердцем» и «История игрушек», которые включают в себя реалистичные изображения идя по снегу и подпрыгивая вьющимися волосами. Эти отступления были помещены рядом с техническими объяснениями «дефибрилляции сердца», пульсации электрических импульсов при прохождении через сердце, как способ показать, как связать сложную математику с миром за пределами классной комнаты.
В рамках тренинга преподаватели также планировали, наблюдали и проводили занятия, основанные на этих принципах, для старших школьников, зачисленных в летний лагерь на территории кампуса.
Эксперты по преподаванию, спонсировавшие тренинг, надеются, что он подготовит преподавателей колледжей к тому, чтобы они стали «защитниками», дав им возможность объяснять и защищать строгость этого способа преподавания исчисления скептически настроенным ученым из других факультетов. Они ожидают, что это будет лишь первый шаг в академической революции.
Но если инструкция по математическому анализу изменится, возможно, потребуется некоторое убеждение.
Тихая революция
Проблема с исчислением широко известна. Известно решение? В меньшей степени.
По мере проведения этих учебных занятий в Гарварде Совет по образованию штата Калифорния, наконец, утвердил новую структуру, которая призвана сделать математику более учитывающей культурные особенности и основанную на запросах. Это попытка отреагировать на некоторые проблемы, выявленные Вайсманом, путем пробуждения интереса учащихся к математике.
Но это вызвало споры, вызвав «сокрушительные и затяжные математические войны», которые включали протесты родителей, угрозы и разногласия между академиками в социальных сетях по поводу того, следует ли перерабатывать исчисление. Отчасти это связано с тем, что в рамках этой концепции приоритет отдавался альтернативам математическому анализу, а также рекомендовалось отложить изучение алгебры I, курса по математике в старших классах и критического этапа в гонке за математическим анализом, до девятого класса для большинства учащихся. Критики утверждают, что эта концепция отвергает строгий подход к «воукизму» (усиленное внимание к вопросам, касающимся социальной, расовой и половой справедливости).
Фактически, многие из недавних попыток не допустить, чтобы математический анализ стал препятствием для карьеры в STEM, направлены на то, чтобы преуменьшить значение математических вычислений, вместо этого направляя студентов на другие математические курсы, такие как статистика или компьютерные науки.
Идея проведения сессий в Гарварде возникла в результате более спокойной попытки революционизировать преподавание математики, опираясь на аналогичные идеи, исходящие из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
За последнее десятилетие Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе обновил свои математические расчеты для курсов по наукам о жизни, сосредоточив их более строго на математических концепциях и реальных биологических вопросах, а не на процедурных правилах для производных и интегралов, что его сторонники описывают как смену парадигмы преподавания математических вычислений.
Именно эта идея привлекла преподавателей в жаркий Кембридж в июле. Модель Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе привлекла внимание математического факультета Гарварда, который решил летом провести тренинг для преподавателей колледжей, желающих изменить свои собственные курсы по математическому анализу. Занятие было призвано стать катализатором перемен, побудив преподавателей открыть свои собственные пересмотренные курсы по образцу тех, которые преподаются в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе.
В рамках этого преподаватели колледжа наблюдали и преподавали уроки подросткам, участвующим в летней программе, проводимой в то же время в Гарварде. Целью проекта было дать возможность преподавателям увидеть эти новые методы в действии и опробовать их лично.
На утреннем занятии, с затуманенными глазами и все еще дрожащими от кофе, преподаватели встретились со старшеклассниками. Ранее студенты «разогревались», работая с наборами данных об уровне смертности от COVID-19, пытаясь выяснить, какое значение эти данные имеют для политики.
«Каков твой утренний процесс?» — спросил инструктор.
Студенты, разбившиеся на группы вокруг столов, обдумывали вопрос. Самым распространенным ответом было «Чистить зубы».
Затем студенты научились определять вероятное влияние чистки зубов на рост зубного налета, прежде чем перейти к другим возможным применениям передовых концепций, таких как векторные пространства и дифференциальные уравнения.
Во время подобных занятий преподаватели программы старательно называли эти методы «уравнениями изменения» — не угрожающей фразой, которую заменяли, чтобы не дать старшеклассникам уклоняться от устрашающего языка, такого как «дифференциальное исчисление». Это связано с утверждением, что эти занятия могут уловить строгость продвинутой математики, только без беспокойства, которое она обычно вызывает.
Это ключевая часть коммерческого предложения курса. «У нашего класса нет никаких предпосылок. Точка», — говорит Алан Гарфинкель, один из разработавших его профессоров Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, когда учитель спрашивает его о том, как разговаривать со студентами о предварительных требованиях к математическому анализу.
Это нетипично. Когда этот предмет обычно преподается, это делается процедурно. Учащимся дается набор правил для решения этих уравнений, а затем они тренируются по ним с вопросом: «Почему мы это изучаем?» с ответом на вопрос позже. Но ученики в этих классах сначала сталкивались с проблемами, которые хотели решить, и получали уравнения только после того, как пробудилось любопытство.
Это оставило впечатление. «Сегодня мне снова предстоит быть учителем! Метод Эйлера для 20 замечательных старшеклассников с разным уровнем математической подготовки! Мне очень понравилось, что математика — это сеть идей, а не линейная траектория, наполненная предварительными условиями», — написал один преподаватель в социальных сетях.
Многие преподаватели, присутствовавшие на мероприятии, заявили, что их привлекло желание повысить вовлеченность учащихся и сделать математику более актуальной для жизни учащихся.
Но влияние, на которое надеются преподаватели, выходит и за пределы классной комнаты. Если средняя школа и высшее образование смогут научить больше учеников рассуждать математически, это сделает их продуктивными мыслителями, говорит Линдси Хендерсон, специалист по школьной математике в Совете по образованию штата Юта, присутствовавшая на тренинге. Именно этого хотят предприятия в Силикон-Слоупс штата Юта, растущем технологическом секторе штата, добавляет она.
Для Вайсмана из Калифорнийского университета в Санта-Крузе важен тот факт, что этот курс уже преподается в крупном учебном заведении. Что касается преподавания математики, он говорит: «Всегда находятся люди, обещающие революции». Но, по словам Вайсмана, метод Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, похоже, работает для крупных учреждений. Университет Аризоны теперь предлагает версию курса. Исследование курса, опубликованное его создателями, показывает, что он успешно привлекает недостаточно представленных студентов.
И Вайсман не предвидит особых усилий при его реализации: «Я не привязан к традиционному учебнику, поэтому мне не нужно следить за тем, чтобы я охватывал определенные методы, которые, по моему мнению, просто не нужно больше будет учить».
Измените уравнения
В то же время, когда проходил недельный семинар для преподавателей, Гарвард также провел двухнедельную программу для старшеклассников, основанную на идее, что старшеклассников можно научить решать задачи, используя принципы расширенного исчисления.
Семинар для учителей включал разработку и проведение занятий для этого класса из 36 старшеклассников, о чем участников не предупреждали более чем за день или два до этого.
«Мы хотели, чтобы участники семинара увидели, что возможно в классе», — говорит Брендан Келли, директор по вводной математике в Гарварде и один из организаторов мероприятия. «Если вы не видели, как ученики обдумывают проблемы, вам может быть трудно представить себе, как это может выглядеть в вашем классе», — говорит Келли.
Традиционная последовательность изучения математики в средней и старшей школе — это алгебра I, геометрия, алгебра II/тригонометрия, а затем начала анализа исчисления, а учащиеся более продвинутого уровня переходят к математическому анализу. Математический анализ все чаще рассматривается как необходимая поддержка при поступлении в колледж.
Однако для летней программы старшей школы в Гарварде требовалась только алгебра II. Студенты программы в основном изучали AP Calculus, хотя и не все. Одна студентка сказала, что перед поступлением на курс она прошла только предварительную математическую подготовку.
Студенты лагеря дали высокую оценку этому опыту.
«Я, честно говоря, никогда не рассматривала математику как специальность», — говорит Джуди Йен, подающая надежды ученица частной американской школы в Тайбэе на Тайване. Йен хочет поступить на медицинскую профессию, и этот курс заставил ее подумать о том, чтобы в будущем получить двойную специализацию по математике, добавляет она.
Для других урок заключался в том, что математика может принести пользу за пределами школы. «Я действительно могу найти работу, а не просто учиться. На самом деле, я действительно могу, может быть, получить работу, связанную с математикой», — говорит Чарльз Шаррино, подающий надежды выпускник Академии Стейтен-Айленда, дневной школы подготовки к поступлению в колледж в Нью-Йорке. «И я нахожу это действительно крутым», — добавляет он.
Тем не менее, это были занятия в летней школе Гарварда, а это означало, что большинство студентов, принявших участие в летней школе в Массачусетсе, имели доступ к средствам для оплаты летней школы в Массачусетсе, которая стоила 5300 долларов за обучение, проживание и питание в течение двухнедельной программы, не говоря уже о том, чтобы был предшествующий интерес к математике. Будет ли это применимо к другим школам и контекстам?
В этом есть некоторая привилегия, признает Келли. Но он твердо верит, что обучение, которое произошло там, возможно где угодно: «Я думаю, что это настоящий дефицит мышления — думать, что у студентов первого поколения или студентов с низкими доходами не будет такого же энтузиазма и любопытства. Я просто в корне не согласен с этим. Молодёжь интересуется миром. А когда вы задаете им интересные вопросы, они отвечают с волнением и заинтересованностью».
28 преподавателей, участвовавших в семинаре, выглядели позитивно. «Курс помогает получить доступ к более широкому кругу студентов, чтобы мы могли заинтересовать студентов математикой и перекрестно опылить все другие разделы», — говорит Стивен ЛеМэй, доцент Карри-колледжа, частного колледжа в Массачусетс, присутствовавший на тренинге.
ЛеМэю было поручено выяснить, подойдет ли обновленный матанализ колледжу Карри, и в целом он выглядел оптимистично. Колледж Карри, скорее всего, не столкнется с той борьбой, о которой сообщает Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе, пытаясь перевести своих студентов, прогнозирует ЛеМэй. По его словам, в колледже нет отдельной специальности по математике, и коллеги ЛеМэй настаивают на том, чтобы освежить использование технологий в школе.
Однако другие преподаватели высших учебных заведений выразили обеспокоенность по поводу того, отразится ли это на их менее богатых ресурсами колледжах. Их вузы, по их словам, беспокоились о том, получат ли их студенты переводные кредиты в других колледжах за эти курсы, и они опасались возможного нарушения работы математических факультетов своих вузов, удерживая студентов от более традиционных занятий по математическому анализу.
В конце концов, говорит Келли из Гарварда, мечта состоит в том, чтобы подобные курсы, интегрирующие концепции исчисления в науках о жизни, экономике, социальных науках, физических науках и технике, преподавались бы в колледжах и старших школах. (Келли в течение последних нескольких лет преподавала аналогичный курс моделирования для экономики и социальных наук.)
Но вряд ли это предрешено. Какая основная проблема на пути более широкого распространения этого метода обучения математике? Деньги. Летнее обучение в Гарварде пользовалось популярностью среди потенциальных преподавателей, но было трудно получить финансирование для поддержки программы, говорит Келли. Он сообщает, что ему дважды не удалось подать заявку на грант Национального научного фонда – что Келли объясняет общим отсутствием энтузиазма к попыткам изменить исчисление и убеждением, что это неправильный учебный курс – но он финансировался подарком математическому факультету от анонимного выпускника Гарварда. Продолжение работы будет означать обеспечение устойчивого финансирования, добавляет он. Теперь, когда первая сессия завершилась, это может быть проще, прогнозирует Келли.
Но пока еще рано судить, говорит Келли: «Я думаю, что по всей стране мы едва-едва отрываемся от земли».