Приветствую Вас!
Ну что, наших детей вновь порадовали, введя в профильную математику векторную алгебру. Конечно, ведь только ее и не хватало на ряду с экономическими задачами, параметрами и теорией вероятностей. Именно тех тем, которые не проходят в школе. Что ж, осталось дождаться комплексных чисел и матриц.
Итак, расскажу подробно и, как всегда, на рабочекрестьянском языке что такое вектора, как что посчитать, вычислить, найти итд итп.
Думаю, многим известно, что вектор - это направленный отрезок. Другими словами: палочка со стрелочкой:
Точка снизу - начало вектора, стрелка сверху - его конец.
У вектора есть свои координаты. То есть, если поместить мысленно начало вектора в начало декартовых координат, то можно увидеть, что у данного вектора координаты (6;3). Продемонстрирую:
Первая координата (количество клеток от нуля) в скобках всегда ставится по иксу, вторая - по игреку.
Теперь давайте нарисуем вектор в другом направлении. К примеру, вот так:
Чтобы определить его координаты, вновь мысленно подрисуем оси, не забывая, что имеются еще и отрицательные ох и оу:
Как видно, координаты данного вектора будут (2;-4).
Факт: не важно в каком направлении изображен вектор, если Вам требуется определить его координаты, то нужно поступить именно таким образом. Вот и всё.
МОДУЛЬ ВЕКТОРА
Далее в программе - длина вектора, или еще это называется страшным словом МОДУЛЬ ВЕКТОРА. По сути модуль - это и есть длина. Итак..
Здесь тоже всё просто. Зная координаты, несложно определить и его длину/модуль, применив теорему Пифагора, тк по сути, вектор является гипотенузой, а его координаты не что иное как катеты.
Возьмем вектор с предыдущей картинки с координатами (2;-4). Его длина будет: √ 2² +(-4)² = √20. Уловили?
Продолжим изучение векторов дальше.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Да да, существует и такое понятие. Здесь тоже ничего глубокомысленного. Если чисто алгебраически, то нужно просто сложить их координаты.
Возьмем наши предыдущие два вектора (6;3) и (2;-4). Чтобы найти их сумму, нужно сложить почленно их координаты. То есть (6+2; 3+(-4)), итого (8;-1).
Можно проверить опять же с помощью рисунка. Но сначала проясним как все-таки они складываются геометрически:
Вектора можно переносить параллельно. А чтобы их сложить, требуется начало второго вектора поместить в конец первого. И их сумма будет выглядеть как новый вектор, начало которого будет началом первого вектора, а конец концом второго.
Вот так:
Как видно, алгебра совпала с геометрией на все 100%! Думаю, с этим так же всё ясно.
Следующим номером нашей программы это:
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Само слово СКАЛЯР обозначает, что это - ЧИСЛО. То есть то. что можно сосчитать и получить однозначный ответ. Возьмем наши вектора (6;3) и (2;-4). Чтобы сосчитать их скалярное произведение нужно перемножить соответственные координаты и сложить полученные результаты:
6*2 + 3*(-4) = 0. О как.. Вышел ноль. Даже сама не ожидала. Видимо, угол-то между векторами 90º. А как я догадалась?
Дело в том, что скалярное произведение можно вычислить еще и по другому:
Модуль вектора а и модуль вектора b, как мы помним, вычисляется по теореме Пифагора. Модуль первого у нас, который (6;3) равен √47, а модуль второго, который (2;-4) равен √20. Следовательно, чтобы найти их скалярное произведение, исходя из формулы, нужно перемножить их модули и домножить на косинус угла между ними.
Алгебраически мы высчитали, что их скалярное произведение ноль, следовательно, угол между векторами 90º, тк cos 90º=0. Ну куда без любимой тригонометрии.
Вообще-то данную формулу используют как раз для того, чтобы и вычислить этот самый косинус угла между векторами, поэтому данная формула Вам очень-таки пригодится на ЕГЭ. Обычно она в таком виде и дается:
Вот, собственно, и всё что нужно знать по векторам для сдачи экзамена. Ничего сложного, правда?
Благодарю за внимание..
