Сегодня рассмотрим как выполняются действия с дробями: сложение и вычитание и зачем для этого нужно приводить дроби к новому знаменателю. Здравствуйте, дорогие мои подписчики и гости канала! Зовут меня Наталья Иванова. Я - репетитор с большим стажем и могу объяснить каждую тему школьной математики просто и понятно.
Итак, в прошлом выпуске https://dzen.ru/a/ZO69eXmur1MDGzHG мы рассмотрели, что дроби - это равные части целого. Целое можно разделить на любое число частей. Кроме этого, мы убедились, что у любой дроби есть бесконечное число равных ей дробей https://dzen.ru/a/ZPDdfs9joye6Rh7Z . Чтобы их получить, достаточно числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число.
Сегодня рассмотрим как складывать и вычитать дроби. Логично предположить, что складывать и вычитать можно только одинаковые части целого, то есть дроби с равными знаменателями. Вот тут то нам и пригодится умение приводить дробь к новому знаменателю. Но есть одно но! Знаменатели тех дробей, которые мы складываем или вычитаем должны быть одинаковыми.
Получить одинаковый для двух дробей знаменатель можно просто умножив один на другой, но часто при этом получаются очень большие числа, с которыми не очень приятно иметь дело. То есть нужно найти самый маленький общий знаменатель и называется он нfименьшим общим кратным (НОК). Для его нахождения удобно каждый знаменатель разложить на простые множители.
Опять новое понятие: простое число - это число, у которого нет других делителей, кроме единицы и самого этого числа. Найти все простые числа удобно, используя решето Эратосфена.
Этот древнегреческий математик записал подряд все натуральные числа и начал вычеркивать сначала те, которые делятся на 2 (каждое второе), кроме самой двойки, затем те, которые делятся на 3 (каждое третье), кроме самой тройки, затем те, которые делятся на 5 (каждое пятое), кроме самой пятерки и т.д.
Единицу он вычеркнул первой, так как она имеет только один делитель. Почему Эратосфен пропустил 4, как вы думаете? Может потому, что все числа, которые делятся на 4 были уже вычеркнуты, поскольку это числа, которые делились и на 2? Оставшиеся числа и были простыми.
Итак, какие числа являются простыми, мы уже знаем. Рассмотрим теперь алгоритм разложения числа на простые множители. Он чем-то напоминает процесс нахождения простых чисел, придуманный Эратосфеном. То есть мы проверяем, делится ли это число на простые числа, начиная с числа 2. Если делится, то делим его сначала на 2, затем опять проверяем делимость сначала на 2, потом на 3 и т.д.
Справа от черты - числа, на которые делим, слева от черты - числа, которые получаются в результате деления, например, результат деления на 2 числа 84 - это число 42. Его и записываем под числом 48. Делим до тех пор, пока в итоге не получим 1. В правом столбике собираются все простые делители, которые и нужно будет перемножить чтобы получить число 84. Такое разложение, как мы видим, единственное.
Рассмотрим, как найти НОК двух чисел, имея их разложения на простые множители.
Записываем разложение первого числа полностью и умножаем на те множители, которые не встречаются в первом. В нашем примере числа 2 и 3 встречаются в разложении первого числа, поэтому на них не умножаем, а вот число 7 не встречается, поэтому на него нужно умножить первое число.
Из данного разложения можно легко найти те множители, на которые нужно будет умножить числа 60 и 42, чтобы получить 420. Это те множители, которые не являются одинаковыми (подчеркнутыми). Так, число 60 нужно умножить на 7, а число 42 на произведение 2 и 5, то есть на 10. Такие числа называются дополнительными множителями для каждой из дробей.
Таким образом, несложные действия для обычных чисел как сложение и вычитание для дробей становятся целым набором алгоритмов, а именно:
· найти общий знаменатель (НОК);
· найти дополнительные множители;
· умножить числитель и знаменатель каждой дроби на свой дополнительный множитель;
· сложить или вычесть новые, получившиеся в процессе умножения, числители;
· записать дробь с новым числителем и новым (НОК) знаменателем.
Для того, чтобы не запоминать все эти алгоритмы, можно воспользоваться сокращенным: для того, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести эти дроби к общему (НОК) знаменателю и полученные дроби сложить или вычесть по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Правила сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
· сложить или вычесть числа, которые стоят в числителе и записать в числитель получившейся дроби;
· знаменатель оставить без изменения.
А при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, предварительно приводят дроби к общему (НОК) знаменателю.
Вот так, простые на первый взгляд, действия с обыкновенными дробями, как сложение и вычитание, повлекли за собой целый ряд предварительных действий, а именно:
· нахождение наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел,
· нахождения дополнительных множителей для каждой из дробей;
· приведение дробей к новому (общему) знаменателю.
Однако, это не так сложно на практике.
Ну а на сегодня все. Подписывайтесь на мой канал, чтобы не пропустить новые выпуски, ставьте лайки, пишите комментарии. Вместе мы научимся все сложные темы школьной математики делать простыми и понятными.
С любовью к вам и математике, Наталья Иванова.