В 21 веке, в самый что ни на есть миллениум, 2000, с дистанцией в один год от выхода оригинала, в Москве вышел перевод учебника Кроновера о фракталах. Перевод выполнен Кренкелем и Соловейчиком. Поверим им.
Учебник, вообще говоря, один из первых на предмет, такой, скорее, не учебной темы, знаменателен, кроме прочего и той известной легкостью, с которой писатели учебников довольно часто шутят над сутью дела.
Самоподобные множества, так назван пункт, начало которого следующее:
«Будем называть компактное множество А самоподобным, если существуют такие преобразования подобия S1, S2, … ,Sn, что имеет место представление:
A = S1(A) U S2(A)U...USN(A) (5.5)( 1, 2, N- нижний регистр, в исходной записи)
причем множества Si(A) имеют не очень много общих точек (см.
точную формулировку ниже).» стр. 132.
Замедлим чтение. Спору может не быть самоподобие, конечно, не самотождественность, и все же, А = А, должно каким-то образом выполняться. И потому понятно, что аргумент функции, это множество, что само себе подобно - А. Иногда указывают, что таким множеством в случае фракталов Мандельброта является, пусть и окаймленный, но диск. Может быть это и диск, коль скоро, тема близка к топологиии, в которой бублик не отличается от кружки, или чашки, то почему нет. Как бы там ни было, представление это или нет – провал, что подарок, только ясно может быть, что известное «само себе» должно воспроизводиться на любом шаге итерации развертывания подмножеств исходного множества. И из этого может быть ясно, что такие итерации-это действия некие функции, и в данном случае, как заявлено, это действия функций преобразования. Значением аргумента которых оказывается одно и то же множество- A. Значение же функции, видимо фрактальное распределение подмножеств исходного множества. Но видимо и преобразования имеют некое тождество между собой, и, ближайшим образом, это тожество S. Шаги, пункты итерации развертывания отличаются лишь числами натурального ряда, цифрами целых чисел в арабской нотации. Имеют место еще и скобки, в общем смысле обозначающие, видимо место для значения аргумента функции, что обычно записывается в европейской раскладке, до знака равно, слева. И вообще говоря, это много тождеств для подобия. Впрочем, знаки индексируются. И в отличие от переменных в исчислении предикатов или высказываний, в этом случае индексируется функция. Это видимо должно не двусмысленным образом отсылать к тому, что речь пойдет о подобии, а не о тождестве. Может быть. Тем более, что следующая фраза, словно по нарастающей захватывающего сюжета повествует о том, что оказывается Si(A)- это множества, а не функция преобразования и эти множества «не имеют много общих точек». Далее станет ясно, что не иметь общих точек, значит попарно не пересекаться. И это может быть тем более забавно. Коль скоро, попарно не пересекаться могут только множества, что вообще не имеют общих точек пересечения, то есть скажем множества истинных и ложных высказываний. Впрочем, тут же следует отсылка к более точной формулировке, что дана ниже. И видимо, куда уж ниже. Но даже не это забавное обстоятельство, легкой игривости, может привлечь внимание, но то, что функция преобразования с аргументом, названа множествами, во множественном числе. Может быть и действительно, если Si(A) – это класс или группа множеств, то экземпляры такого класса в виду само подобия могут не иметь общих точек пересечения, просто и не просто потому, что слайсы фракталов не пересекаются на одном и том же слайсе, они «пересекаются» лишь в гирлянде, подобно тому как матрешки, что вложены одна в другую, если их раскрыть, то есть вынуть одну из другой, могут не иметь общих точек пересечения, оставаясь самоподобными. Но вообще говоря Si(A) – это функция преобразования, а не множество. Множество, это аргумент такой функции. И если следует множественное число, в смысле по крайней мере двух множеств, то это может быть намеком на простое и не простое обстоятельство, что функция и переменная, находятся ни совсем в тех же отношениях, что и обычно. Кроме этого, Si(A) не фигурирует в перечислении, - коль скоро алгоритм и исчисление взаимно моделируют друг друга, выступают моделями друг для друга, то так можно сказать, - что предшествует строке появления такой записи. И в виду абстракции отождествления эту запись объединяет с предшествующей строкой, только пустая форма. Но речь не идет о тождестве. Может быть именно поэтому, все так может быть вольно, впрочем, как обычно у математиков. И, да, ранее уже шла речь о том, что гладкие кривые не обладают дробной размерностью. И таким образом, может сохранятся надежда на то, что можно получить не противоречивую теорию фракталов. Смело. Но кто бы сомневался, теперь, что многозначность ни пара непротиворечива. И главное, это совершенно порой непреодолимая страсть мыслить все множества словно застывшие и данные сразу целиком. И да, в виде сокращения. И это может быть вопрос, впрочем, скорее теперь к историкам философии и математической логики, почему Рассел, в свое время, не занялся фракталами, хотя отчетливо понимал, что сокращения, это едва ли не прямой путь к парадоксам, которых так стремился избегать, словно противоречий?
Далее следует формулировка теоремы, в ходе которой, кроме прочего, уточняется, что значит не очень много общих точек между множествами методов или функций, классов, экземпляры которых, видимо, попарно не пересекаются.
«Теорема 5.1.3. Пусть А — самоподобное множество, то есть вывыполняется 5.5), причем Si(A) попарно не пересекаются. Обозначим
через d единственное решение уравнения…»
Это видимо и есть универсальное характеризующее, в данном случае.
«…rd1 + rd2 + --- + rdN = l, 5.6) ( d- в верхнем регистре в исходной записи индексации, 1, 2, N- в нижнем регистре, в исходной записи, прямо под значениями верхнего регистра.)
где ri — коэффициенты подобия. Тогда, если Bd(A) > О, то размерность ( i- в нижнем регистре) Минковского множества А равна:
dimM(A) = d.»
стр. 132.
Может быть.
Но ни эти вообще говоря, отчасти забавные, теперь, разъяснения о возможностях фракталов, могут привлечь внимание к учебнику Кроновера. Но кроме прочего, достаточно прямое указание на то простое и не простое обстоятельство, что пространство Минковского имеет дробную размерность и потому может быть фрактально, и это в дополнение к комплексным числам может вполне недвусмысленно отослать, для нас простых смертных, к тому, что континуум может быть кривой. Это может быть интуитивно понятно, коль скоро, пространство континуума может быть дробным пространством и преобразованием Минковского, и комплексные числа, что состоят из вещественных и мнимых,- что вообще говоря, может быть, сложнее простой индексации знаков переменных или даже функций, и может быть, тривиально для рекурсивных процедур, не претендующих на подобие, скорее наоборот, коль скоро, используются знаки целых, натуральных чисел, в известном смысле,- все это, теперь сложное и мнимое, может использоваться в математическом описании и исчислении кривизны такого континуума пространства- времени. Особенностями или скажем, вслед Арнольду, катастрофами такого континуума, могут быть, как раз, петли времени и целые сингулярности пространства.
«СТЛА»
Караваев В.Г.