Для исследования функции на экстремум при помощи производной второго порядка нужно выполнить следующие шаги:
1. Найдите первую и вторую производные функции . Обозначим их как f '(x) и f ''(x) соответственно.
Используем теоретической обоснование - необходимое условие экстремума функции одной переменной:
2. Найдите точки, где первая производная равна нулю или не существует. Это могут быть точки экстремума или точки перегиба.
3. Найдите значения второй производной в найденных точках и классифицируйте их используя достаточное условие экстремума.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной:
Если f ''(x) = 0, то функция не достигает экстремумов в данной точке, или требуются дополнительные исследования.
Если функция является гладкой и убывает до точки минимума, а затем возрастает после нее, это минимум.
Если функция является гладкой и возрастает до точки максимума, а затем убывает после нее, это максимум .
Если вторая производная равна нулю в точке, дополнительное исследование может потребоваться для определения, является ли это точкой экстремума.
Обратите внимание, что эти шаги применимы только для функций, которые дважды дифференцируемы на интервале исследования. Если функция не является дважды дифференцируемой в некоторых точках, могут потребоваться дополнительные инструменты для исследования экстремумов.
А теперь рассмотрим пример решения задания используя приведенный алгоритм: