Ллойд Стоуэлл Шепли (1923- 2016) - американский математик и экономист, считается одним из наиболее важных ученых, кто внес вклад в развитие теории игр. В 2012 году вместе с Элвином Э. Ротом Шепли получил Нобелевскую премию по экономическим наукам "За теорию стабильных распределений и практику проектирования рынков". Ученые работали независимо, их работы посвящены тому, как смоделировать и свести друг с другом экономических агентов, чтобы распределить ресурсы наиболее эффективным способом.
В частности, Ллойд Шепли описал "Вектор Шепли", который представляет собой принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками, а также алгоритм, который гарантирует принцип стабильного соответствия ( алгоритм "Гейла-Шепли"). Звучит сложно, но давайте рассмотрим на понятном практическом примере как работает вектор Шепли и как он может использоваться и применяться в совершенно разных ситуациях, когда необходимо осуществить "справедливое" распределение ресурсов.
Кооперация, выигрыш и как его поделить между участниками.
Дисклеймер: задача носит исключительно иллюстративный характер применения Вектора Шепли и не является рекомендацией, может не учитывать особенности делового оборота и применимого законодательства.
Задача: Предположим, что у трех братьев есть накопления: у Пети - 35 000 рублей, у Толи - 40 000 рублей, у Игоря - 75 000 рублей. Каждый из них думает о том, чтобы положить деньги на депозит в банк. Процентные ставки по вкладам зависят от суммы: 10% годовых, если сумма вклада находится в пределах 50 000 рублей, 11% годовых, если от 50 000 рублей до 100 000 рублей, и 12% годовых, если сумма вклада более 100 000 рублей.
Каждый может оформить вклад самостоятельно или скооперироваться вместе, чтобы получить максимальную ставку и доход от размещения депозита. Вопрос: сколько должен получить каждый из братьев из общего дохода, если они решат объединить средства и получить доход по максимальной ставке?
Давайте начнем рассуждать и считать.
Шаг 1. Рассчитаем, а сколько каждый мог бы заработать, если бы братья положили вклады самостоятельно, объединив средства попарно и все вместе. Я сразу сделала это в таблице:
Из расчетов видно, что по отдельности их доход составит 15 750 рублей, а в случае объединения - 18 000 рублей. Разница - 2 250 рублей. Как поделить эту сумму между участниками?
Шаг 2. Посчитаем различные варианты, которые возможны при делении данной суммы и сравним.
Вариант 1. Поровну распределяем дополнительный доход между всеми тремя участниками вне зависимости от суммы вклада. Тогда каждый получит:
2 250 / 3 = 750 рублей
Вариант 2. Распределяем дополнительный доход пропорционально сумме вклада каждого участника:
Петя: 35 000/150 000 * 2 250 =23,3% * 2 250 = 525 рублей,
Толя: 40 000/150 000 * 2 250 = 26,7% * 2 250 =600 рублей
Игорь: 75 000/ 150 000 * 2 250 р = 50% * 2 250 = 1 150 рублей
Вариант 3. Распределяем сумму дополнительного дохода на основе использования Вектора-Шепли. Сначала поясню логику и основную идею:
Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние коалиции при определенном механизме её формирования.
Это общее определение, математические формулы можно посмотреть по ссылке.
О чем идет речь? Речь о том, чтобы определить сколько вносит в общий результат добавление каждого "участника" в разных комбинациях (последовательностях) присоединения участников и затем рассчитать "средний" вклад каждого участника для всех возможных комбинаций. На языке математики это звучит примерно так:
Вектором Шепли называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции при равновероятном возникновении упорядочений
Теперь вернемся к примеру. Сначала посчитаем вклад каждого участника для разных вариантов объединения. У нас 3 участника, с точки зрения математики возможно 6 комбинаций (!3=3*2), когда к первому участнику добавляются остальные поэтапно:
- Петя + Толя + Игорь
- Петя + Игорь + Толя
- Толя + Игорь + Петя
- Толя + Петя + Игорь
- Игорь + Петя + Толя
- Игорь + Толя + Петя
На каждом этапе добавления участника мы имеем разный результат - присоединяясь к коалиции, новый участник добавляет ценность.
Поясню для первой комбинации: если Петя и Толя положат деньги на депозит каждый отдельно, то ставка для каждого составит 10% и они получат 3 500 рублей и 4 000 рублей соответственно, если же они объединятся, то их общий доход составит 8 250 рублей по ставке 11%. Разница между этими вариантами - получение дохода в 750 рублей, который они распределят между собой: 350 рублей достанется Пете и 400 рублей достанется Толе (пропорционально размеру каждого вклада).
Но участников у нас трое, поэтому мы также сравним комбинацию, когда Петя и Толя объединились, остается Игорь - он может либо присоединиться к коалиции, либо нет. Если он решает, что разместит депозит отдельно, то общий доход трех участников составит 16 500 рублей ( у Игоря 75 000 рублей, которые он также разместит по ставке 11% годовых), если же они все втроем объединятся, то общий доход составит 18 000 рублей. Итак разница в этом случае - 1 500 рублей. Таким образом, при присоединении Игоря к группе Пети и Толи добавляется ценность в размере 1 500 рублей.
Такое упражнение проделывается по всем перечисленным комбинациям, чтобы определить какую ценность добавляет каждый из участников в 6 комбинациях. Я разбила расчет на 2 шага для наглядности. Сначала считаю ценность от объединения в пары, затем от присоединения к этой паре 3-его человека. Вот что у меня получилось:
Теперь посчитаем математическое ожидание от вклада для каждого из участников. Для этого я выписываю ценность присоединения для каждого из них во всех шести комбинациях, считаю общую сумму, которую затем делю на число комбинаций - шесть.
В итоге получается следующий расчет:
Петя: (0 + 0 + 750 + 1 450+ 700+ 700)/6 = 600 рублей
Толя: (0 + 0 + 750 + 1 550 + 800+ 800)/6 = 650 рублей
Игорь: (0 + 0 + 1 450 + 1 550+ 1500+ 1500)/6 = 1 000 рублей
Что в этом распределении примечательно по сравнению с вариантом, когда деление происходит пропорционально сумме вкладов участников, так это то, что здесь просчитывается ценность, которую привносит каждый из участников при присоединении к группе.
Если посмотреть самую первую таблицу с разными комбинациями, то ставку 12% могут получить при объединении либо все три участника ( Петя, Толя, Игорь) или еще в двух комбинациях: Игорь + Петя или Игорь + Толя. То есть Игорь без присоединения Пети или Толи, несмотря на то, что обладает большей суммой, получить 12% не сможет - его ставка будет 11%, поэтому присоединение либо Пети либо Толи представляет собой для Игоря ценность, так же как и для Пети и Толи присоединение к ним Игоря.
Вектор Шепли учитывает ценность присоединения каждого участника в зависимости от последовательности присоединения и достигаемого результата в различных комбинациях. Но не всегда использование Вектора Шепли будет обоснованным и применимым на практике, потому что на принятие решения и результат может влиять множество других факторов, дополнительные условия, кроме этого не все комбинации и последовательности присоединения участников могут быть реализованы фактически (в отличие от математического подхода). Но такой подход позволяет протестировать границы справедливого распределения и может служить основой для выработки обоснованной переговорной позиции в различных ситуациях.
Была ли полезна вам эта статья? Если да - ставьте лайк, подписывайтесь на канал, пишите комментарии!