Родственны ли эти слова?
Фляжка, фляга. Глядя на эти два слова, хочется заявить: фляжка - это производное от фляга (как ножка от нога, сошка от соха и т. д.). Однако это не тот случай. Фляга - это обратное образование от фляжка. Как так, спросите вы? Легко! В XVI или XVII веке это слово в форме фляшка попало в русский язык из польского flaszka, flasza "фляга", далее из немецкого Flasche "бутылка". Оттуда же и украинское пляшка "бутылка". Слово это исконно германское: ср. английское flask "фляга; бутыль; склянка", нидерландское fles "бутылка", исландское flaska "бутылка", шведское flaska "бутылка". Вообще прагерманское * flaskā, * flaskǭ "бутыль, сосуд" возводят к ПИЕ основе * pleḱ- "плести" - мол, в древности сосуды с жидкостями были обмотаны соломенной плетёнкой, и всё такое...
Флакон. Итак, уже известное нам прагерманское * flaskǭ "бутыль" в древнем языке франков даёт нам * flaska "бутылка", которое очень приглянулось поздним римлянам (хотя у них имелось своё прекрасное слово lagēna и его уменьшительная форма laguncula в значении "бутылка" - эх, неисповедимы пути и причины заимствований). Так в латыни возникло слово flascō, flasca "бутылка, сосуд (для вина)", у которого немало потомков в других языках: испанское frasco "флакон, пузырёк, склянка", португальское frasco "флакон" (отсюда в японском языке возникло слово フラスコ (furasuko) "колба", которое мне очень напоминает нашу фуражку), каталанское flascó "сосуд с широким горлышком", французское flasque "фляга; пороховница"; в среднегреческом отсюда же взялось слово φλασκίον, откуда египетское арабское فلسقية (filasqiyya) "бутыль, фляга". Ах да, и чуть не забыл... Именно отсюда в старофранцузском возникло слово flascon, flacon "бутылочка", из которого вышло современное французское flacon "флакон" и все прочие флаконы, подсмотренные у модников-французов другими народами (включая даже английское flagon, которое не совсем "флакон", а скорее целый "графин").
Выходит, что слова фляжка и флакон - родственники.