Задача дня

Формулировка задания

Зафиксируем дано.

Пункт а

Изобразим чертёж и найдём идею решения:

Идея решения и чертёж

Проведём высоту пирамиды - SO и KH - перпендикуляр к плоскости ABC. H принадлежит BO, т.к. H - проекция точки K на плоскость ABC.

Пусть MC пересекает BO в точке P. Докажем, что точки P и H совпадают.

Рассмотрим треугольник BRO и прямую CM:

Выносной чертёж треугольника BRO

По теореме Менелая:

Теорема Менелая для треугольника BRO

Найдём отношение BM:MR. AB=9, AM=8 (по условию), R-это середина AB (т.к. RC является высотой, медианной и биссектрисой треугольника ABC).

MB=1, RM=4,5-1=3,5. Таким образом, RM:MB=3,5:1=7:2.

Т.к. RC - это медиана треугольника, а O - точка их пересечения, то OC:CR=2:3.

Из выражения (1) получаем, что BP:PO=3:7.

Треугольники SBO и KBH подобны, следовательно BH:OH=3:7 (по условию).

В итоге, BP:PO=BH:OH=3:7, точки P и H совпадают.

Следовательно, CM пересекает BO в точке H.

Плоскость KMC содержит в себе прямую KH, которая перпендикулярна ABC.

Таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны, следовательно плоскость альфа содержит точку С. чтд.

Пункт б

Как было доказано в пункте а, плоскость альфа=плоскость KMC.

Площадь треугольника KMC

Заметим, что

Следует из подобия треугольников BKH и BSO

По теореме Пифагора для треугольника SAO:

Найдем CM:

Найдём площадь треугольника KMB.

Добавьте описание

Добавим рукописное решение задачи

Рукописное решение для бланка ЕГЭ