Зафиксируем дано.
Пункт а
Изобразим чертёж и найдём идею решения:
Проведём высоту пирамиды - SO и KH - перпендикуляр к плоскости ABC. H принадлежит BO, т.к. H - проекция точки K на плоскость ABC.
Пусть MC пересекает BO в точке P. Докажем, что точки P и H совпадают.
Рассмотрим треугольник BRO и прямую CM:
По теореме Менелая:
Найдём отношение BM:MR. AB=9, AM=8 (по условию), R-это середина AB (т.к. RC является высотой, медианной и биссектрисой треугольника ABC).
MB=1, RM=4,5-1=3,5. Таким образом, RM:MB=3,5:1=7:2.
Т.к. RC - это медиана треугольника, а O - точка их пересечения, то OC:CR=2:3.
Из выражения (1) получаем, что BP:PO=3:7.
Треугольники SBO и KBH подобны, следовательно BH:OH=3:7 (по условию).
В итоге, BP:PO=BH:OH=3:7, точки P и H совпадают.
Следовательно, CM пересекает BO в точке H.
Плоскость KMC содержит в себе прямую KH, которая перпендикулярна ABC.
Таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны, следовательно плоскость альфа содержит точку С. чтд.
Пункт б
Как было доказано в пункте а, плоскость альфа=плоскость KMC.
Заметим, что
По теореме Пифагора для треугольника SAO:
Найдем CM:
Найдём площадь треугольника KMB.