Сначала была статья под названием «Ахиллес и черепаха». Она возникла, когда я нашел в Дзене статью, с наивным восторгом повторяющую все глупости по поводу «Ахиллеса и черепахи» из старых учебников по философии.
Но потом мне моя статья не понравилась. Как-то сумбурно получилось. И вот, я решил переписать ее: подробнее, систематичнее, с некоторыми пояснениями из математики и ее истории. С ссылками, в основном, на Википедию. Потому что достать учебник философии моего студенческого времени нет технической возможности, а как раз в Википедии приведены строки из него.
Попутно я обнаружил, что статья хорошо пойдет в рубрику
К истории человеческой глупости
Начали!
Парменид
В V в. до Н.Э. в Италийской греческой колонии Элее (в районе нынешнего Неаполя) жил такой философ Парменид. Его взгляды и высказывания, взятые из сохранившихся отрывков его текстов, вкратце представлены в указанной статье Википедии.
Что пишут о нем в Википедии.
Он ... разделил истину и мнение.
Вот краткое переложение мнений Парменида, представляющих наибольший интерес для нашего обсуждения:
У Бытия нет ни прошлого, ни будущего. Бытие есть чистое настоящее. Оно неподвижно, однородно, совершенно и ограниченно; имеет форму шара.
Бытие одно, и не может быть двух и более «бытий». Иначе они должны были бы быть отграничены друг от друга — Небытием (его нет);
Бытие сплошно (едино), то есть не имеет частей. Если бытие имеет части, значит части отграничены друг от друга — Небытием (его нет);
Если нет частей и если бытие одно, то нет движения и нет множественности в мире. В противном случае, одно Бытие должно двигаться относительно другого;
Так как не существует движения и множественности и Бытие одно, то нет ни возникновения, ни уничтожения. Так [как] при возникновении (уничтожении) должно быть Небытие (но Небытия нет);
Бытие вечно пребывает на одном и том же месте.
Википедия, там же.
По этому поводу Александр Сергеевич красиво написал:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый...
А.С. Пушкин
"Другой" — по преданию, философ Антисфен.
Итак, все в этом мире однозначно и неизменно. Мы, с высоты прошедших столетий, можем с этим не соглашаться. Но определённо о частях бытия, о форме шара, об одном и том же месте Парменид думал совсем не то и не так, как мы сейчас о том, что называем этими словами. А что и как именно, спросить уже не у кого.
Эта традиция — говорить и спорить о словах, не договорившись об их смысле — особенно характерна для так называемых гуманитариев.
Анекдот в тему.
– Ну что мы всё время в карты и в карты! Может, в театр пойдем; там сегодня "Три сестры" дают.
Поручик Ржевский:
– Послушайте, господа, это гениально! Нас как раз трое.
А когда этот спор ведется в V веке до Н.Э. на греческом языке, затем переводится на арабский, затем на латинский, французский, русский — что в итоге остается от первоначального смысла слов, даже если он был?
Но в чём можно быть уверенным, так это в том, что невозможное движение у Парменида — не механическое движение. Ибо, доводя до слушателей свои мысли, определенно он шевелил ртом!
Зенон
Зенон Элейский считается учеником Парменида. Его тексты не сохранились, всё, что мы знаем о нем, это комментарии его коллег и последователей. И как будто бы, по мнению поздних комментаторов, он выдвинул целый ряд апорий для того, чтобы поддержать учение своего учителя об отсутствии движения. Имею возразить: движение у Парменида не механическое, а неизвестно что; Зенон же рассматривает и обсуждает именно механическое движение: перемещение объектов в пространстве с течением времени.
Апори́я (греч. ἀπορία «безысходность, безвыходное положение») — это вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая не может существовать в реальности. Апоретическое (апорийное) суждение фиксирует несоответствие эмпирического факта и описывающей его теории. Апории известны со времён Сократа. Наибольшую известность получили апории Зенона из Элеи.
У меня такое впечатление, что эта «безысходность» актуальна только для времени Зенона, что и дало ему основание назвать свои рассуждения апориями. Далее я намерен показать, что эти апории фиксировали недостаточность человеческих теоретических представлений и ставили задачи их развития. Правда, эти задачи очень не сразу были осознаны и решены.
Каждая апория может рассматриваться как призыв к ее разрешению. Не для всех апорий это получается. Например, парадокс кучи указывает на принципиальную нечеткость наших представлений о реальных и мыслимых объектах: этот мяч шар или не шар? наверное, шар, так в правилах баскетбола написано. а с другой стороны, на нем пупырышки, и рукам больно! Ответ зависит, и сформулировать эту зависимость чётко — невозможно.
Парадокс кучи ярко проявляется в законодательстве. Украл столько — наказание такое. Украл на рубль больше — это уже другая статья и другое наказание.
Что касается апорий Зенона о движении, то в истории науки они получили удовлетворительное разрешение.
Апории о движении и бесконечности
Ахиллес и Черепаха — самая известная из апорий Зенона Элейского.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Анализ ситуации доступен ученику 5 класса. Расстояние между пунктами А и В 1000 шагов. Одновременно в одном направлении из п. В выехал велосипедист Черепаха, а из п. А вдогонку отправился автомобиль с Ахиллесом за рулем. Допустим, скорость автомобиля 100 шагов/мин, а Черепахи, соответственно, 10 шагов/мин (это такие специальные математические кролики для опытов, п. 10.2). Относительная скорость равна 90 шагам/мин, и с ней Ахиллес покроет расстояние в 1000 шагов за 100/9 минуты. Встреча состоится... пятиклассник может вычислить это место тоже.
Однако, Зенон рассуждает не так. Ахиллесу понадобится 10 мин, чтобы пробежать 1000 шагов. За это время Черепаха удалится еще на 100 шагов. На это расстояние Ахиллес затратит еще 1 минуту времени, а Черепаха уйдет на 10 шагов. Ахиллес... еще 1/10 минуты, Черепаха... еще 1 шаг, и так до бесконечности. Ахиллес никогда не догонит Черепаху. Сумма промежутков времени, потраченных Ахиллесом, 10 + 1 + 1/10 + ... всегда оказывается меньше 100/9 минут, и этот момент времени никогда не наступит.
На мой взгляд, здесь проблема в нечеткости понятий никогда и всегда.
Помню, как лектор по философии с наигранным удивлением на лице восклицал: "Это удивительный парадокс!" И нес после этого пургу. Нам, студентам-математикам, эта пурговость была очевидна.
Апория — это не парадокс.
Дихотомия
Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.
Опять неосмысленное слово никогда!
Стрела
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
Под "покоится", похоже, имеется в виду "занимает определенное место". Но мы, начиная с Ньютона, понимаем, что это не одно и то же. И тут ещё один пример игры словами без чёткого смысла.
Гунсунь Лун
Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые ведущему представителю древнекитайской «школы имён» (мин цзя) Гунсунь Луну (середина IV века до н. э. — середина III века до н. э.):<...>
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10 000 поколений».
Ну, это вообще ни в какие ворота! В мысленном эксперименте Гунсунь Луна время дискретно, и квант времени равен одному дню. Так что здесь бесконечно не только количество актов действия, но и время на их выполнение.
Не вижу здесь ни парадокса, ни особой глубины мысли.
Что же касается «Ахиллеса» (и «Дихотомии») Зенона, то здесь время столь же бесконечно делимо, как и пространство. Бесконечно только количество актов мышления, нарочито глупо придуманных, а время на обсуждаемые действия конечно.
Предположение, что что-то не может произойти только потому, что философ не может завершить свой мыслительный процесс об этом, является чистой воды идеализмом.
Еще раз подчеркну, что мы не знаем, что по поводу этих апорий думал сам Зенон, мы располагаем только комментариями и словами, придуманными позже.
Обсуждения и комментарии
Аристотель:
Зенон же рассуждает неправильно. Если всегда — говорит он — всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент «теперь» всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела неподвижна. Но это неверно, потому что время не слагается из неделимых «теперь», а также никакая другая величина.
Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, кто пытается их разрешить. Первое — о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся [тело] должно дойти до половины прежде, чем до конца.<…> Второе — так называемый «Ахиллес»<…>
Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из [отдельных] «теперь»; если это не признавать, силлогизма не получится.
Положительный результат «Стрелы»: имеющееся «теперь» состояние движущегося тела недостаточно описывать только его положением; нужна еще и скорость. Это стало ясно в XVII веке после 2 закона Ньютона.
Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.
Это яркий пример разговора о словах: что такое "реальное движение", не договорились.
Зенон ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий? А вы его спрашивали?
Я думаю, что Зенон не был такой уж дурак. Пример Антисфена как раз говорил ему, что в реальности с движением всё в порядке, проблем нет. Зенон, скорее всего, иллюстрировал тезис об ограниченности человеческого знания, применяемых моделей и способов рассуждать, имевших место в то время. Вот так рассуждать нельзя, говорил он, а то чушь получится.
Чтобы получить "применимость к реальному движению идеализированных математических понятий", требуется просто развить, доработать эти математические понятия. Существовавший в то время математический аппарат был недостаточен для описания движения. Это мы сейчас знаем, что понятие о скорости требует анализа бесконечно малых (и умения их суммировать).
Те "философы", которые и сейчас продолжают удивляться Ахиллесу, просто не в курсе, что математики уже давно научились суммировать бесконечные ряды. Невозможность бесконечной делимости вещества, конечно, имеет место, но бесконечно глупо выводить ее из рассуждений Зенона.
Модель Зенона как раз и предполагает возможность бесконечного набора бесконечно малых расстояний и промежутков времени. (На это и Аристотель указывал.) Просто в то время не было способов их конечного суммирования.
Сумма ряда
Здесь не будет ничего нового для математика. Просто рассказ для новичков. Особенно для "философов", упустивших этот момент в своем фундаментальном образовании.
Посчитаем «по Зенону» время, затраченное Ахиллесом на бег за черепахой. Этот рассчёт уже начат выше.
Сначала Ахиллес тратит 10 мин, чтобы пробежать 1000 шагов. Следующий этап займет 1 минуту, всего 11 мин. Третий этап — 0.1 мин., всего 11.1 мин. На следующем этапе суммарное время станет равно 11.11 мин. Потом получится 11.111 мин, 11.1111 мин, и так далее. Чем дальше, тем больше единичек после десятичной точки. И тем меньше разность между конечной суммой и бесконечной десятичной дробью 11.111111111... = 11.(1). И эта разность станет как угодно маленькой, если взять достаточное количество шагов. Поэтому сумма всего бесконечного набора слагаемых равна 11.(1).
Это называется суммой бесконечного ряда (примерно XVII век). Можно об этом почитать и в учебниках... Не читайте только Дзен-канал «Математика не для всех».
Если применить известный из школы алгоритм преобразования периодической десятичной дроби в обыкновенную, то получится 11 целых и 1/9. А это точно совпадает с тем моментом встречи автомобиля с велосипедом, что недавно пятиклассник посчитал.
С другой стороны, сумма 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 +... вычисляется по формуле суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии:
10 / (1 – 0.1) = 10 / 0.9.
Можно и так!
За это время Ахиллес пробежит 1000 / 0.9 шагов расстояния.
Такие вычисления невозможно было представить до Н.Э.! И последовавшее позднее развитие человеческого знания можно считать положительным результатом апорий Зенона.
Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» обращают внимание на психологическую трудность восприятия этого результата:
Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.
Источник.
Преодоление такого психологического барьера — один из компонентов математического образования.
«Следовательно»
Комментаторы часто с бездумной легкостью употребляют это слово. Вот пример, связанный с другой апорией Зенона, не касающейся движения и бесконечности.
Медимн зерна
Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом?
Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука — отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории — доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна.
Часть обычно не подобна целому (качественно отличается от него), но это далеко не всегда так. Математики хорошо знают, что множество чётных натуральных чисел "подобно" множеству всех натуральных чисел (Г. Кантор, XIX век). А вот с какого перепуга здесь следовательно, бесконечная делимость невозможна? Можно устроить бесконечный процесс деления множества натуральных чисел на "подобные" части. Вы имели что-то другое в виду? Тогда опишите это так, чтобы исключить разночтения.
Зерно, действительно, начиная с какого-то момента дальше делить невозможно так, чтобы оно оставалось зерном. Но это никак не следует из вышеописанных соображений. Это следствие природы самого зерна.
Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.
Поэтому? Почему это поэтому? Подробнее, плиз. Ну! Ну? Э-э-э! Никакого убедительного рассуждения, а только догматическое повторение чужих слов.
Имеет место логический скачок, очевидно, ложный.
Одно из возможных объяснений апории [«Ахиллес»]: ложность представления о бесконечной делимости расстояния и времени.
Эти слова десятилетиями бездумно переписываются из одного учебника в другой невзирая на смысл.
Опять мы имеем «следовательно», которое следствием не является: ложность представления о бесконечной делимости расстояния и времени из апории никак не выводится.
Если «Апори́я... — это вымышленная, логически верная ситуация..., которая не может существовать в реальности», то «Ахиллес» вообще не является апорией!
Недостаточность математического аппарата Зенона никак не означает невозможность бесконечной делимости пространства и времени. Напротив, когда математики научились суммировать бесконечно много слагаемых (а это примерно XVII век и позднее), апория благополучно разрешилась именно в рамках модели, предполагающей бесконечную делимость пространства и времени. Значит, предполагаемый «логический вывод» просто неверен.
А! Вот и слово "модель"!
Модели
Мы всегда рассуждаем о каких-то (математических, физических, механических, понятийных) моделях действительности. Без модели вообще обсуждать и изучать что-либо невозможно. Как только мы строим слова и договариваемся об их смысле, так возникает модель. Иначе получается разговор о словах, смысл которых не определён.
Модель, в которой Зенон строил «Ахиллеса», предполагает бесконечную делимость пространства. Сама апория говорит нам, что тогда неизбежно должна быть бесконечная делимость времени. Это хорошая модель, которой мы регулярно пользуемся в повседневной жизни, рассчитывая время прибытия транспорта или затраты времени на производство изделий. Просто Зенон не располагал способами конечного суммирования бесконечно малых.
Возможно, что в микромире эта модель становится неадекватной; я тут не специалист. Вопрос о квантовых моделях времени и пространства в микромире надо оставить тем, кто профессионально этим занимается.
В любом случае всякая модель имеет ограниченную область адекватности (применимости) и не охватывает всех аспектов действительности. Однако, если какое-то рассуждение не проходит в какой-то модели, оно тем самым логически опровергается.
Выводы из "Ахиллеса и Черепахи" суть следующие.
1. Мы можем бесконечно долго рассуждать о вещах простых и конечных.
Некоторые делают это за деньги.
2. Зенон, хотел он этого или нет, обнаружил необходимость развития человеческих знаний.
Архимед, Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Эйлер, Коши, Вейерштрасс, Фурье... многие другие впоследствии этим и занимались.
3. В действительности у Зенона Ахиллес догонит Черепаху, когда достигнет расстояния вытянутой руки до нее. Если просуммировать затраченные на это отрезки времени, то результат окажется хорошим приблизительным значением для идеального времени 100/9 минуты. И чем короче у Ахиллеса руки, тем точнее это приближение.
Но это уже другая математическая модель, очевидно, имеющая существенное прикладное значение.
Выводы из всех апорий Зенона о движении
Из них ничего такого не следует. Это просто пример того, как неправильно думать. Полагаю, что Зенон именно в таком качестве их и предложил.
Это о потере связи с реальностью. Те, кто принимают рассуждения Зенона всерьёз, они тоже теряют связь с реальностью.
Это о недостаточности математики и механики того времени для восстановления связи с реальностью.
Когда что-то пишешь, надо обдумывать писомое, а не переписывать бездумно из "источников".
... иначе занятие сие будет пустою забавою.