Доброго времени суток, сегодня поговорим о системах линейных уравнений, что это, зачем они нужны и как их посчитать в коде с помощью языка программирования Python.
Для чего нужна линейная алгебра и ее алгоритмы в частности решение систем линейных уравнений?
Линейная алгебра — это раздел математики, который чрезвычайно полезен в Data Science и машинном обучении. Владение линейной алгеброй — это также самый важный математический навык в машинном обучении. Большинство моделей машинного обучения могут быть выражены в матричном виде. Сам набор данных часто представляется в виде матрицы. Линейная алгебра используется при предварительной обработке данных, в преобразовании данных и оценке моделей. Вот темы, с которыми вы должны быть знакомы:
- Векторы.
- Матрицы.
- Транспонирование матрицы.
- Обратная матрица.
- Определитель матрицы.
- След матрицы.
- Скалярное произведение.
- Собственные значения.
- Собственные векторы.
Система линейных уравнений— система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным алгебраическим уравнением первой степени.
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
Матричная запись систем линейных уравнений
Чтобы понять, как построение прямой зависит от данных и какие в этом процессе могут быть сложности, обратимся к линейной алгебре и геометрии. Нам понадобятся матричные произведения.
Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:
С помощью произведения матрицы на вектор можно представить систему уравнений. Для этого нужно:
- собрать коэффициенты при переменных системы в матрицу
- справа домножить её на вектор-столбец самих переменных k и m
- и приравнять полученное произведение вектору из значений правой части системы.
Систему линейных уравнений можно представить в виде Av=y,
где A — матрица, v и y — векторы. Этот вид называется матричной формой записи системы.
Подумаем, как можно решить матричное уравнение вида. Av=y.
Если матрица A имеет обратную, то мы можем умножить обе части равенства на A^{-1} и сразу найти вектор v:
Av=y,
A^−1Av=A^−1y,
v=A^−1y.
^ - возведение в степень.
Другими словами, так мы можем решить нашу систему!
Давайте рассмотрим это на примере.
Для расчёта обратной матрицы воспользуемся Python.
Задача.
Найдите решение данной системы линейных уравнений с помощью Python. Результат сохраните в переменной result и выведите.
2k2+m=9,
−k2+m=−4,
−k1−3k2+m=9
# Задаём систему в матричном виде.
import numpy as np
A = np.array([[0, 2, 1],
[0, -1, 1],
[-1, -3, 1],
])
y = np.array([ 9, -4, 9])
# Считаем обратную матрицу.
A_inv = np.linalg.inv(A)
# Находим решение системы.
result = A_inv @ y
print( result)
Здесь используется библиотека numpy. Она подключается оператором import -"import numpy as np".
Для того чтобы , библиотека numpy заработала необходимо установить ее сначала , командой pip install numpy и убедитесь , что используете последнюю версию Python. Команду необходимо вводить в cmd.exe.
В других ОС, существуют подобные командные строки, я работаю в операционной системе Windows.
Ссылка на другую мою статью, про обратные матрицы и транспонирование матриц: https://dzen.ru/media/id/5f572502b7204709f04ab67c/primer-vychisleniia-obratnoi-matricy-v-kode-na-iazyke-programmirovaniia-python-640ae49697036f7610331184
Чтобы запустить этот код в среде разработки Python нужно в меню выбрать пункт File->New File, в появившемся окне набрать код или скопировать его туда, проверить ошибки, в меню появившегося окна выбрать Run->Run Module, программа выполнится.
Вот-так, относительно просто можно получить обратные матрицы и транспонировать матрицы в языке программирования Python.
Маленькая просьба, поставить лайк в Дзене, если Вам понравилась публикация и подписаться, это поможет развитию канала: https://dzen.ru/id/5f572502b7204709f04ab67c