Предыдущая публикация, помимо всего прочего, была также призвана ненавязчиво подвести читателя к мысли о существовании возможных точек соприкосновения специальной теории относительности и квантовой теории. Действительно ли такие пересечения существуют? Давайте попробуем разобраться с этим интересным предположением.
Известно, что помимо интервала между событиями, одним из инвариантов преобразований Лоренца оказывается полная энергия объекта. Квадрат полной энергии обычно записывают в следующем виде:
Полная энергия объекта измеряется в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью v. Первое слагаемое в правой части этого выражения имеет физический смысл и размерность кинетической энергии объекта и получена умножением его импульса на скорость света в вакууме:
Второе слагаемое называют энергией покоя объекта. Эта энергия представляет собой ту часть полной энергии объекта, которой он обладает в собственной системе отсчета. Энергия покоя равна (m – масса покоя объекта):
При вычислении полной энергии, как это уже было в предыдущей публикации при вычислении пространственной и временной компонент интервала между событиями, результатом выполнения операции извлечения квадратного корня и в этом случае будут также два значения.
В собственной системе отсчета объекта (при нулевом значении импульса) его полная энергия может иметь одно из двух следующих значений:
Отложив значения полной энергии по горизонтальной оси, а значения кинетической энергии по вертикальной оси, обнаруживаем, что ветви гипербол не проходят через начало системы координат:
То есть, как и в случае интервала между событиями, оказывается, что в четырехмерном пространстве-времени для каждого материального объекта существует диапазон недоступных для измерения значений полной энергии от –E0 до E0 шириной 2ΔE:
Кроме полной энергии объекта, еще одним из инвариантов в СТО оказывается и такой не совсем обычный математический объект, как
4-вектор pj, компонентами которого являются импульс (p) и полная энергия (E):
где m – масса покоя объекта, c – скорость света, uj - четырехмерная скорость объекта:
Квадрат этого 4-вектора равен разности квадрата энергии покоя и квадрата полной энергии:
Из последнего выражения следует, что импульс объекта может иметь одно из двух значений или, что существует соответствующий энергии объекта диапазон «запрещенных» для него значений импульса шириной 2Δp:
Таким образом, оказывается, что в системе отсчета объекта существуют такие интервалы значений его импульса (-p0 ≤ p ≤ p0), при которых значение его энергии не определено – она может быть любой в диапазоне -E0 ≤ E ≤ E0, и наоборот. Пока энергия объекта остается в указанном интервале значений, наблюдатель не в состоянии точно измерить импульс объекта, поскольку при таких значениях импульса и энергии объект не проявляет своего существования в качестве локализованной вещественной сущности, и не доступен для взаимодействия. В таком состоянии объект пребывает в течение некоторого интервала времени, в качестве которого, по всей видимости, выступает диапазон запрещенных значений временной компоненты метрики 4-хмерного пространства-времени шириной Δt, существование которого было продемонстрировано в ходе выявления особенностей этой метрики в предыдущей части данной статьи.
Предвосхищая результат сопоставления диапазонов запрещенных значений энергии и времени, могу сказать, что это сопоставление позволит выяснить, насколько близко друг к другу могут располагаться во времени два последовательных мгновения настоящего, то есть найти длительность кванта времени для данного объекта. Поскольку искомая длительность является минимальной из всех возможных, постольку понятно, что измеренные длительности реальных процессов (Δtji) могут быть равными длительности этих квантов (Δt), но никогда не окажутся меньше указанной длительности.
Последнее обстоятельство, как и некоторые фрагменты размещенного выше текста, вызывают довольно прозрачную аллюзию на одно из фундаментальных положений физики микромира, которое таким образом и является искомой точкой соприкосновения специальной теории относительности и квантовой теории, существование которой было анонсировано в самом начале этой публикации.
Как известно, в квантовой теории широко используются соотношения неопределенностей, установленные В. Гейзенбергом. Эти соотношения являются математическим выражением фундаментального положения квантовой теории, согласно которому существуют сопряженные пары физических величин, которые не могут одновременно иметь определенные и одинаково точные значения. Соотношения Гейзенберга записываются в виде неравенств, таких, что чем точнее измерено значение одной из пары сопряженных величин, тем менее определенным будет измеренное значение другой.
В частности, такой парой сопряженных величин являются энергия и время, для которых неравенство Гейзенберга записывается следующим образом (в правой части фигурирует приведенная постоянная Планка, полученная делением канонической постоянной Планка h на два π):
В таком виде это выражение один в один выглядит как математическая формулировка текста, расположенного двумя абзацами выше (Δtji ≥ Δt). Физический смысл соотношения неопределенностей для энергии и времени заключается в том, что энергию объекта можно измерить лишь с точностью, определяемой отношением h/(2πΔtji), где Δtji – время, затраченное на измерение.
Воспользовавшись этой подсказкой со стороны квантовой теории, можно предположить, что искомое соответствие запрещенных диапазонов значений энергии и времени тоже должно носить характер обратной пропорциональности. В предельном случае неравенство становится равенством, справедливым, в том числе, и для кванта времени:
Как обнаружилось немного раньше, полная ширина недоступного в течение интервала времени Δt диапазона энергии равна 2ΔE = 2|E0|. Поэтому выражение для длительности кванта времени будет иметь вот такие, можно даже сказать – «до боли» знакомые многим, «очертания»:
В каком же разделе физики можно увидеть подобное равенство? Если вы скажете, что это выражение очень часто фигурирует в квантовой теории, то будете абсолютно правы. Предоставим слово одному из ее творцов - французскому физику Л. де Бройлю. В 20-х годах XX века в своей диссертации «Исследования по теории квантов» он предпринял дерзкую попытку обратить внимание своих коллег на существование неких общих черт в поведении излучения и вещества: «Руководствуясь идеей об общем соотношении между понятиями частоты и энергии, мы допустим в данной работе существование [внутреннего] периодического явления [процесса, в котором участвует каждое движущееся тело], природу которого нам еще предстоит определить и которое будет связано с каждой изолированной порцией энергии и будет зависеть от собственной массы согласно уравнению Планка-Эйнштейна».
Л. де Бройль нашел, что для наблюдателя, движущегося вместе с телом, частота этого процесса прямо пропорциональна энергии покоя этого тела:
а его период, соответственно, обратно пропорционален этой энергии:
Сравнение полученного выражения с записанным ранее выражением для длительности кванта времени позволяет утверждать, что длительность кванта времени данного тела, по всей видимости, имеет физический смысл периода его волны де Бройля, и эта длительность численно равна половине указанного периода:
Аналогичным образом можно убедиться и в том, что благодаря двойственной форме бытия материи, дискретность времени обеспечивает необходимую дискретность пространства. Найдем размер кванта пространства для данного объекта. Для этого воспользуемся теперь тем обстоятельством, что величиной, сопряженной импульсу объекта является его пространственная координата. Поэтому соотношение неопределенностей Гейзенберга для этих величин, в предельном случае, имеет вид следующего равенства:
Полная ширина недоступного диапазона значений импульса, как уже было отмечено выше, равна 2Δp = 2p0. Тогда выражение для минимально возможной неопределенности пространственной координаты объекта (кванта пространства) преобразуется к виду:
Очевидно, что записанная в таком виде длина кванта пространства для данного объекта совпадает с половиной длины его волны де Бройля:
Подводя черту под этой публикацией, искренне надеюсь, что мне удалось достаточно аргументировано продемонстрировать наличие возможной связи между теорией относительности и квантовой теорией, опирающееся на соотношение неопределенностей Гейзенберга, и обнаруженное благодаря Л. де Бройлю, позволившему перебросить «мостик» между этими теориями.