Конечно, корень у них такой же, как в слове "воля", а смысл основной - "достаток". Мы его можем понять по выражению "вволю", то есть "сколько хочешь". То же самое - "вдоволь", это наречие происходит от устаревшего "довълъ" с тем же значением, он нам ещё пригодится.
Раньше говорили "довольно" в значении "достаточно, хватит", а "довольный" - это, получается тот, кому всего хватает. "Довольствие" образовано отсюда же, но значение закрепилось за обеспечением провизией, так же как в слове "продовольствие". Ну а "удовольствие" - это тоже, получается, когда тебе всего достаточно. Глаголы "довольствоваться" и "удовольствоваться" отличаются только видом и приставкой "у-".
А "удовлетворение" происходит от устаревшего "довълъ", и изначально имело место калькирование с французского "satisfaire" ("удовлетворять"), где "satis" как раз выражает достаточность, а "faire" означает просто "делать".
Интересен один из родственников слова "удовлетворение", глагол "довлеть", он означает "быть достаточным". Отсюда, например, прилагательное "самодовлеющий" - это "самодостаточный".
Но по мере того как этот глагол устаревал, он, по сходству с "давить" стал превращаться в его синоним, и теперь уже кроме как "довлеть над" чем-то или кем-то его и не встретишь.