Вчера в комментариях к статье «Геометрия на разрыв мозга» возникло что-то вроде дискуссии на тему «Что такое прямая линия?».
На самом деле ответить на этот вопрос непросто. Можно, само собой, ответить «прямая — это то, что не кривая». Но тогда возникает другой вопрос, ничуть не менее простой — «А что такое кривая?». Интуитивно прямую от кривой легко отличит даже детсадовец, но вот сказать «точно» — совсем другая песня.
С этим столкнулся ещё Евклид больше 2 тысяч лет назад. Когда он составлял свой знаменитый учебник геометрии «Начала», то никак не мог придумать — а что же такое «прямая»? В итоге Евклид поместил определение прямой в разряд «аксиом», то есть положений, которые не доказываются — в них просто надо верить! Как в церкви. «Авраам родил Исаака, Исаак родил Иакова». «Прямая есть длина без ширины» — написал Евклид в своей книге.
Честно сказать, так себе объяснение. Разве у кривой линии не бывает длины? Или у кривой линии есть ширина? В общем, вопрос этот подвис больше чем на полторы тысячи лет — и ответить на него математики смогли только ближе к середине XVIII века, после работ Декарта, Ньютона и Лейбница.
Как же математика отличает прямую линию от кривой? Итак, задача: «Дана некая линия. Как определить — прямая она или кривая?». Для этого нам нужно, во-первых, ввести некую систему координат. Какую именно? А какую введём, такая и будет. Какая нам удобнее! Во-вторых, нужно в этой системе координат найти уравнение (параметрическое уравнение) для заданной линии, то есть функцию от какого-то параметра (а это может быть очень непросто). Затем нужно воспользоваться дифференциальным исчислением (математическим анализом) и отыскать вторую производную для данной функции. И вот если эта вторая производная будет равна нулю, то линия — прямая. Если вторая производная больше нуля, то линия «выпуклая» (с положительной кривизной). Если вторая производная меньше нуля, то линия «вогнутая» (с отрицательной кривизной).
Важно понимать — в математике, как в «Звёздных войнах», «всё зависит от точки зрения» (как говорил Оби-Ван Кеноби). Самый простой пример — если мы возьмём окружность с центром в точке ноль в декартовых координатах (x,y) и построим для неё параметрические уравнения (x=Rcos(t), y=Rsin(t)), тогда в результате получим ответ: вторая производная не равна нулю, то есть окружность — это кривая линия. Но если мы декартовы координаты (x,y) сменим на полярные координаты (r,φ)? Тогда и уравнения у нас станут совершенно другими (r=const, φ=t), и в результате мы получим ответ: вторая производная равна нулю, то есть в полярных координатах такая окружность — это прямая линия!
То есть математика тут демонстрирует просто неслыханную гибкость (не хуже политики): изменяя систему координат («точку зрения»), мы одну и ту же линию можем назвать и «прямой» (когда надо), и «кривой» (когда опять-таки надо).
В полярной системе координат даже спираль («архимедова спираль», которая от комаров, интуитивно «куда уж кривее») является прямой линией (уравнения будут r=Сt, φ=t) . Невероятно, но факт! «Не верь глазам своим, сынок!», потому что это математика...