Почему нельзя делить на ноль?

Каждый из нас со школы помнит правило: "На ноль делить нельзя". А почему нельзя? Этого учебник не объясняет – нельзя и точка. А мы попробуем объяснить.

Допустим, нам надо доказать, что 1 = 2. Глупость? Вовсе нет. Вот доказательство:

Попробуйте сами найти замаскированную ошибку... Ну, а если не получается или просто лень, – всё очень просто: в последней строке доказательства мы сокращаем наше равенство на скобку (a2–ab), а она равна нулю. То есть мы производим деление на ноль – и получаем в итоге полнейшую чепуху!

Вот поэтому в школьной математике на ноль делить нельзя. Однако, например, в области математики, которая называется "теория функций комплексного переменного", – можно. При делении числа на ноль там получается бесконечно удалённая точка.

Допустим, вся Земля покрыта сплошным пшеничным полем и опоясана единственной грунтовой дорогой, соединяющейся в кольцо. Ваша задача: дойти по этой дороге до точки схода (до того места, где сходятся дорога, поле и небо. Невыполнимая задача, но выполняемая! Приступайте.

А ещё существует знаменитая теорема Банаха–Тарского – о том, что любой шар равновелик двум своим точным копиям. То есть эта теорема говорит нам о том, что можно, допустим, взять арбуз и ножом разрезать этот арбуз на части так, чтобы потом из этих частей сложить два в точности таких же арбуза!

Обычному человеку это кажется просто бредом, но в том-то и дело, что эта теорема не содержит никаких скрытых ошибок.

Секрет в том, что в доказательстве теоремы шар разрезается не просто на части, а на части с бесконечно малой («меры нуль») толщиной. И вот из таких вот частей собрать две копии шара вполне себе получается!

Дальше:

Что такое интеграл?

Вообще, я не люблю выражение «высшая математика». Это что же выходит – что вся остальная математика, прежде всего школьная – «низшая»? Чепуха! В любой науке бывают разные задачи – как простые, так и сложные. А из-за слова «высшая» некоторые пугаются. Или, наоборот, задирают нос... (Читать дальше)