Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые сорок восемь частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика;
28. Дискретная непрерывность;
29. Кружковская задача 14;
30. Кружковская задача 15;
31. Ханойская башня;
32. Кружковская задача 16;
33. Кружковская задача 17;
34. Проценты;
35. Кружковская задача 18;
36. Кружковская задача 19;
37. Незадача;
38. Кружковская задача 20;
39. Кружковская задача 21;
40. Логика должна быть логичной;
41. Комбинаторика в школе;
42. Графы в школе;
43. Вставайте, граф...;
44. Кружковская задача 22;
45. Признаки делимости не ВПРок;
46. Чудеса ВПР;
47. Кружковская задача 23;
48. Кружковская задача 24.
Задача
Для подарков купили конфеты. Хулиган Вася одну конфету спрятал. После этого, когда конфеты раскладывали по две, по три и по пять, каждый раз одной конфеты не хватало, а вот по семь их удалось разложить. Сколько могло быть куплено конфет, если известно, что всего их было меньше трёхсот?
Решение №1
Так как количество конфет "без одной" делится на 7, а после добавления одной должно делиться на 2, 3 и 5, можно проверить все числа, кратные 7.
Подбор
7, 14, 21, 28, ..., 112 не подходят, а 119 - подходит!
Перебор
Рассмотрим все числа, кратные 7 и меньшие 300. При прибавлении 1 только 119 даёт число, делящееся на 2, 3 и 5. Остальные не подходят.
Решение №2
Так как количество конфет делится на 2, 3 и 5, то оно должно делиться и на их наименьшее общее кратное 2*3*5=60. Достаточно проверить все числа, кратные 60, посмотрев, делится ли на 7 предыдущее число.
Подбор
60 - не подходит, а 120 - подходит!
Перебор
Рассмотрим все числа, кратные 60 и меньшие 300: 60, 120, 180, 240. Из них только 120 подходит (119 делится на 7), а остальные - нет (59, 179 и 239 не делятся на 7).
Комментарий
Школьники, особенно испорченные начальной школой, часто говорят о некоем "методе подбора", который позволяет (иногда) угадать ответ (один из ответов) в некоторых математических задачах. На самом деле, такого метода в математике не существует. Подбор - это способ понять, что в задаче происходит, убедить самого себя, что понимаешь её устройство. Для нахождения всех возможных ответов можно использовать перебор.
Главное отличие "подбора" от "перебора" в полноте: подбирая ответ, мы не думаем о том, сколько и каких вариантов мы рассмотрели, главное - в итоге найти подходящий (это иногда тоже полезно, если просят найти одно решение, а не все, или заранее известно, что решение единственное), тогда как при переборе важна система, доказывающая, что вариантов, кроме тех, которые мы разобрали, в принципе нет и быть не может.
Переборное решение задачи - это не хорошо и не плохо, это допустимый метод, один из многих. Иногда задачу можно гораздо быстрее и проще решить без перебора, иногда решения без перебора намного сложнее и "вычурнее" переборных. Опытному кружковцу важно:
а) уметь перебирать;
б) знать, когда перебирать не следует.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.