Чего только не найдёшь на просторах интернета. Уже договорились о том, что 0^0 или 0/0 равно 1. Разумеется, это не так.
Но как же поделить 0 на 0?
На самом деле, нет ничего проще - если очень хочется это сделать, то почему бы и не поделить!
Чтобы поделить 0 на 0 проведём мысленный эксперимент и представим, что у нас есть некое физическое устройство, называемое умножитель, которое имеет два входа, на вход получает ток с некими напряжениями, а на выходе выдаёт ток с напряжением, равным произведению напряжения первого входа на напряжение второго входа. При этом, если хотя бы на один вход подано напряжение 0, то 0 будет и на выходе. Если это реализовывать физически, то 0 на любом входе эквивалентен отключению устройства, как будто бы вырубили рубильник.
Теперь нам надо решить задачу - найти, какое можно подать напряжение на вход U2 умножителя, чтобы на выходе U3 было напряжение нулевое, если известно, что на U1 подан 0.
Очевидно, так как умножитель при нулевом напряжении на любом входе просто напросто не работает, то, что бы мы ни подавали на другой вход, на выходе будет 0.
Ответом будет любое число, или же сразу всё множество чисел на числовой прямой, мощность которого равна мощности континуума.
Если же от нас потребуют получить напряжение отличное от нуля на выходе выключенного умножителя, то мы можем сразу сказать, что сделать это невозможно, так как для того, чтобы что-то на выходе умножителя получить, его надо сначала включить.
Теперь вспомним, что деление есть ничто иное, как операция, обратная умножению. То есть, поведение нашего физического умножителя, с которым мы можем провести наглядный мысленный эксперимент, когда мы ищем напряжение на входе, и есть ничто иное, как поведение бинарного оператора деления одного число на другое.
То есть, получаем, что a/0 - не имеет результата, невыполнимо, если a отлично от нуля, и имеет результатом абсолютно всю числовую прямую, если a равно нулю.
Аналогичнно, тем же самым образом получаем, что 0^0 - это точно так же любое число.
Как такое может быть?
На самом деле - в этом нет ничего удивительного. Обычные корни возвращают на вещественной прямой точно так же не одно число, а целых два подходящих числа - с плюсом и минусом.
Можно считать, что, результат операции деления, или извлечения корня - это не само число, а некоторая спецификация, ограничение на число. Которое, как бы можно получить позже. Когда-нибудь в будущем. Если мы раскрываем результат, выполняя вычисления прямо сейчас, то мы находим одно число, но при делении на ноль либо не находим чисел, либо находим множество всех чисел.
Тогда, перейдя от одиночных чисел к множествам чисел, задаваемых спецификациями/ограничениями, мы можем легко ввести операцию деления ноля на ноль. a/0 - равно либо пустому множеству, либо всей числовой прямой. Разумеется, мощность полученного множества спецификаций на числа будет больше мощности континуума, так что результат 0/0 ни на одно число на вещественной прямой отобразить не удастся.
Такой подход, как мы видели выше, имеет весьма значимый практический смысл - если ограничение, скажем, на ваши ресурсы получилось 0/0, то у вас нет вообще никаких ограничений, а если a/0, где a не равно нулю, то у вас нет возможности получить тот результат, который вы хотите получить.