Продолжим вытягивать из одного свойства прямого угла: быть углом между любой прямой и любой её осью симметрии, все прочие свойства, делающие его особенным. Первая часть тут:
Сегодня, основываясь на понятии симметрии и самях общих свойствах расстояний (метрик), мы выясним почему:
- Расстояние от всякой точки до какой-либо прямой минимально в направлении, перпендикулярном к этой прямой.
- Всякая касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания.
- Прямой угол тесно связан с понятиями "вертикаль" и "горизонталь", естественными в мире, где существенную роль играет гравитация.
От симметрии к кратчайшим расстояниям
В основе евклидовой геометрии лежат изометрии — преобразования, сохраняющие расстояния между точками. Какой бы смысл мы ни вкладывали в понятие расстояния, для него должно выполняться правило треугольника. Это правило можно вольно толковать так: длина ломаной кривой не может быть меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Симметричными могут быть не только фигуры. Само отношение между двумя прямыми: "прямая A является осью симметрии для прямой B" является симметричным: из него вытекает, что и прямая B является осью симметрии для прямой A. В школьном учебнике зеркальное отражение плоскости относительно прямой определяют как перенос точек плоскости вдоль линий, перпендикулярных оси отражения с сохранением расстояний между точками и осью. Теперь мы в состоянии разобраться, почему это определение именно такое. Симметричность отношения "быть осью симметрии" приводит к тому, что прямая является осью симметрии для всех своих осей симметрии, а они проходят через все точки рассматриваемой плоскости!
Рассмотрим прямую и две точки, одну на прямой (B), другую — вне её (A). Предположим теперь, что |AB| и есть кратчайшее расстояние между этими точками. Проведём через точку A ось симметрии прямой и воспользуемся симметричностью отношения "быть осью симметрии", отразив ось симметрии относительно прямой и получив отражение точки A, — точку A'.
Отражение сохраняет все расстояния, значит |AB| = |BА'|, |AO| = |OA'|. Согласно правилу треугольника, длина ломаной ABA' не может превышать расстояния между её концами |AA'|:
|AB| + |BA'| = 2|AB| ≥ 2|AO|
Расстояние |AB| может быть кратчайшим, только если |AB| = |AO|. То есть, минимальным будет расстояние, измеряемое именно вдоль оси симметрии.
От одной единственной точки можно перейти к кратчайшему расстоянию между двумя непересекающимися прямыми на плоскости или в пространстве, а также к кратчайшему расстоянию между точкой и плоскостью. Во всех этих случаях, кратчайшими будут расстояния, измеряемые вдоль осей симметрии получающихся систем (двух непересекающихся прямых в пространстве, точки и плоскости).
От прямой к окружности
Симметрии прямой уже помогли нам кое-что понять про особенности прямого угла, давайте теперь обратимся к симметрии окружности.
Окружность — это одна из самых симметричных фигур, имеющая бесконечное число осей отражения и бесконечное число вращательных симметрий. Одно из определений окружности, которое мне очень по душе — это геометрическое место точек плоскости, переходящее само в себя при произвольном повороте относительно одной выделенной точки или оси. Такое определение работает и в пространстве, и даже за пределами евклидовой геометрии, например, на сфере. Но кроме вращательной симметрии, окружность имеет и симметрию отражения, причём, как и у прямой, осей отражения у неё бесконечно много. Для наших заметок это можно счесть очевидным, но если быть строгим, то это следствие того, что группа вращения любого правильного n-угольника имеет n подгрупп, изоморфных группе симметрии прямой Z₂, окружность, как предельный случай многоугольника "наследует" это свойство.
Все оси отражения окружности проходят через её центр (поскольку они должны переходить друг в друга при повороте). Значит, радиусы и диаметры окружности принадлежат её осям отражения. Каждая такая ось пересекает окружность в двух точках, и через каждую такую точку можно провести линию, симметричную, относительно оси — касательную к окружности. Касательная имеет с окружностью одну общую точку и обладает той же симметрией отражения, что и окружность (по построению), отсюда делаем общий вывод: любая касательная к окружности перпендикулярна своей оси симметрии, а следовательно, и принадлежащему ей радиусу.
Это объясняет почему при вращении дохлой крысы на верёвочке, мгновенное перемещение (и скорость) крысы будет всегда перпендикулярно радиусу вращения. К такому же выводу можно прийти, вычисляя производные от радиус-вектора, как это делается в механике, но приведённые тут рассуждения полезны для интуитивного понимания кругового движения.
Рассматривая в пространстве все возможные повороты окружности и касательной к ней вокруг их общей оси симметрии, мы из окружности получим сферу, а из касательной — касающуюся сферы плоскость. Так мы приходим к выводу, что любая прямая, принадлежащая касательной плоскости перпендикулярная радиусу сферы. Живя на поверхности сферы, любое направление, принадлежащее касательной плоскости мы называем горизонтальным, а направление вдоль оси симметрии сферы — вертикальным. Математики называют эти направления тангенциальным и нормальным.
Тут стоит заметить, что касательная плоскость к сфере, не содержит в себе линию горизонта, которая лежит на самой сфере и является линией пересечения конуса касающегося сферы с вершиной в точке наблюдения. Так что горизонт всегда оказывается несколько ниже касательной плоскости.
Что такое вниз?
Таким образом, притяжение идеальной шарообразной планеты приводит к тому, что направление силы тяжести на её поверхности будет всегда направлено к центру по радиусу. Это направление мы договорились считать вертикальным и оно будет нормально горизонтальной площадке.
А что с телами иной формы, или с системами тел? Тут нам простой геометрией уже не обойтись, и нужно обратиться к теории поля и привлечь несколько более сложное понятие: эквипотенциальную поверхность. Представьте себе, как из системы точек выходят, возможно, изгибаясь силовые линии. Вдоль них будет направлена сила притяжения в любой заданной точке пространства. Если мы окружим эту систему точек жидким океаном, то уровень воды постарается выровняться таким образом, чтобы любое перемещение вдоль его поверхности было всегда перпендикулярно силовым линиям. В любой точке на поверхности такого океана мы легко можем сказать где вертикальное, а где горизонтальное направления. Это и есть эквипотенциальная поверхность. Поверхность нашей Земли не является эквипотенциальной, хоть и очень близка к ней. На ней есть горы, холмы и впадины, отклоняющиеся от эквипотенциали, которые "держатся" на прочности горных пород.
По этой причине строителям и геодезистам приходится искать горизонталь в каждой отдельной точке Земли инструментально. Но если мы её отыскали, скажем, пузырьковым уровнем, то можем быть вполне уверены в том, что ровно в этом месте сила тяжести направлена нормально к горизонтально расположенному уровню.
Эквипотенциальные поверхности для сложных конфигураций масс, конечно же уже строятся не из соображений симметрии. А о том, что имеется в виду под "перпендикулярностью кривых" линий мы поговорим в следующий раз.