Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые сорок девять частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика;
28. Дискретная непрерывность;
29. Кружковская задача 14;
30. Кружковская задача 15;
31. Ханойская башня;
32. Кружковская задача 16;
33. Кружковская задача 17;
34. Проценты;
35. Кружковская задача 18;
36. Кружковская задача 19;
37. Незадача;
38. Кружковская задача 20;
39. Кружковская задача 21;
40. Логика должна быть логичной;
41. Комбинаторика в школе;
42. Графы в школе;
43. Вставайте, граф...;
44. Кружковская задача 22;
45. Признаки делимости не ВПРок;
46. Чудеса ВПР;
47. Кружковская задача 23;
48. Кружковская задача 24;
49. Подбор vs перебор.
Задача
Коля задумал натуральное число, выписал все его натуральные делители, кроме самого числа, и сложил два наибольших из них. У него получилось 193. Найдите задуманное число.
Решение
Так как сумма двух делителей нечётная, то один из них - чётный, а второй - нечётный. Это означает, что задуманное число чётное, поэтому больший делитель - его половина. Рассмотрим два варианта.
Если задуманное число делится на 4, то его половина - чётная, поэтому второй делитель должен быть нечётным, тогда он - не треть (треть была бы чётной), значит он - четверть. Обозначим задуманное число 4n, тогда его половина и четверть это 2n и n соответственно - их сумма 3n делится на 3, а 193 - не делится, поэтому этот вариант невозможен.
Таким образом, задуманное число чётно, но не делится на 4. Его половина нечётная, поэтому следующий делитель должен быть чётным: а так как 2 - это единственный его чётный делитель, кроме его самого, то наше число - 2n, а делители, дающие в сумме 193, это n и 2.
Несложно убедиться, что если n+2=193, то n=191, 2n=382 и это число действительно не имеет других делителей, кроме 1, 2, 191 и 382, т.е. 191 и 2 - его наибольшие делители, не равные ему самому.
Комментарий
Я нашёл эту задачу в архивных материалах Малого Мехмата и предложил своим кружковцам на матбою. В результате получил сомнительный от них перебор вместо решения. Зато они нашли ответ, который я сперва едва не пропустил в собственном решении.
А перебор, если он полный и аккуратный - вполне нормальное решение.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.