Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Давайте сегодня поговорим про платоновы тела, которые представляют из себя правильные многогранники. Еще со времен Древней Греции было известно, что их всего лишь пять:
Однако, окончательный и строгий ответ на невозможность существования иных платоновых тел пришлось ждать больше тысячи лет! Я же предлагаю Вам пройти этот путь за несколько минут. Описание нужного нам инструментария не займет много времени. Итак, поехали!
Символ Шлефли
Задача классификация правильных многогранников в целом различных размерностей - одна из важных задач геометрии, которую проще всего оказалось решить комбинаторными средствами.
В своей диссертации Шлефли дал полную классификацию правильных многогранников для n-размерных пространств. С тех пор в научный оборот вошел т.н. символ Шлефли {n,m}, где n - количество углов в грани, m - количество граней, которые сходятся в вершине.
Запомните эти символы. Они встретятся нам в конце повествования. Переходим к следующему инструменту.
Великая формула Эйлера
Связывает количество вершин, ребер и граней всякого многогранника изумительным образом:
Обратите внимание, что речь идёт не только о правильных многогранниках, а вообще о всех телах, которые можно получить непрерывными преобразованиями из сферы (т.е. гомеоморфными ей). Эйлерова характеристика, т.о. - это топологический инвариант.
Для топологических пространств эйлерова характеристика имеет немного другой вид: χ = 2 - 2g, где g - количество "ручек". Тор можно получить "приклеив" к сфере одну ручку, значит его Эйлерова характеристика равна 0, если приклеить две ручки - получим двойной тор с характеристикой "-2"
Подводя краткие итоги: мы будем классифицировать правильные двумерные полиэдрами - многогранники (двумерные - в смысле, что их поверхность двумерна, но вложены они всё-таки в трехмерное пространство). Их эйлерова характеристика равна 2.
Классификация двумерных полиэдров
Классифицировать полиэдры мы можем по их символу Шлефли, т.о. наша задача связать величины {n,m} с количеством вершин, ребер и граней. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость:
Коэффициент 2 появляется всегда, потому что при подсчете ребер мы их учитываем дважды (каждое ребро соединяет две вершины и находится на стыке двух граней).
Для куба формулы будут аналогичны.
Итак, мы имеем систему уравнений:
Решаем её, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли:
Из очевидного свойства положительности дроби справа, получаем неравенство, которое решаем в целых числах:
А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел! Как видите, мы получили одно и то же с помощью решения обычной системы уравнений! Вообще алгебраизация - один из самых мощных способов исследования окружающего нас мира и не только.
Такое направление алгебраической топологии как теория гомологий вообще по сути выросло из формулы для эйлеровой характеристики. Мотивацией к её созданию как раз было наблюдение, что две формы можно отличить, изучив их отверстия.
Затем встал вопрос: "а как вообще изучать то, чего по факту нет (отверстий)?" В итоге придумали удобную алгебраическую характеристику, вычисляя которую, можно классифицировать всевозможные формы: так появились группы гомологий.
- Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!