Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня мы на конкретном примере разберемся, что это за гибрид известных всем со школы последовательностей.
Итак, общая формула арифметико-геометрической прогрессии записывается следующим образом:
Проще говоря, n-й член арифметико-геометрической последовательности является произведением n-го члена арифметической последовательности и n-го члена геометрической.
Явная формула для конкретного члена геометрической прогрессии имеет вид:
Но нам, конечно, интересно, чему равна сумма! Для этого рассмотрим конкретный пример и выведем всё посредством стандартных рассуждений.
Найдем сумму такого ряда:
Из постановки задачи понятно, что члены этого ряда образуют арифметико-геометрическую прогрессию, но нам нужно убедиться в этом и определить её коэффициенты:
Теперь запишем наш бесконечный ряд в общем виде:
Вторая копия получается умножением на коэффициент геометрической прогрессии. Теперь вычитаем второй ряд из первого и получаем:
Наши манипуляции позволяют нам вычислить геометрической прогрессии в первой скобке:
Теперь нужно подставить исходные данные и заметить, что при стремлении n к бесконечности вычитаемое стремится к 0, ведь знаменатель меньше 1:
В общем виде формула выглядит так:
Читать по теме:
- Наиболее обширная статья об арифметико-геометрической прогрессии - конечно в журнале "Квант" - здесь.
- Интересные примеры на английском языке - здесь
- Лестница Габриэля как пример визуализации арифметико-геометрической прогрессии
- Классная задача из международной математической олимпиады 1994 года
TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.