Готовясь к очередному уроку по физике, неожиданно поняла, что много лет, сама того не желая, обманывала школьников по части границ применимости формул. Тема "Потенциальная и кинетическая энергия" вроде бы довольно простая, но есть нюансы. Делюсь этими нюансами с вами. Статья будет полезна прежде всего для учителей.
Казалось бы, какой может быть подвох? Кинетическая энергия - это энергия, которой обладает движущееся тело. Едет машина, скачет лошадь, летит ракета, катится колесо. Потенциальная энергия - это энергия, которой обладает тело или система тел вследствие взаимодействия между своими частями. Это простые определения, даем также определения энергии через работу и пишем формулы.
Пишем формулы
Подвох заключается именно в формулах. Для кинетической энергии дается формула E=mv²/2, и применяется эта формула во всех задачах школьного курса. В учебнике, конечно, говорится, что это формула только для поступательного движения тела, но особенно на этом внимания не акцентируется. Кинетической энергии вращательного движения в школьной программе нет. Поэтому школьник не может решить задачу о катящемся шаре. И даже движущийся автомобиль, у которого катятся колёса, тоже не совсем подчиняется стандартной формуле.
Раньше я не задумывалась о том, что для задач по кинетической энергии надо очень аккуратно выбирать примеры, чтобы не наткнуться на границы применимости формул. Например, для демонстрации выбрала катящийся шарик. Да, катящийся шарик обладает кинетической энергией, но не mv²/2. Расчет кинетической энергии катящегося тела - это задачка для первого курса технического вуза. В таблице ниже приведены формулы для кинетических энергий ряда однородных тел массы m, катящихся без проскальзывания со скоростью v.
В задачах скатывания цилиндров или шаров с наклонной плоскости применяются именно эти формулы. Есть даже опыт - если два цилиндра, сплошной и полый, отпустить с одной высоты наклонной плоскости, то сплошной скатится быстрее. В базовую программу школы они не входят, поэтому по плоскости обычно ездят только бруски.
Раньше я не обращала внимания на этот момент, и могла дать какую-нибудь задачку "от себя", где что-то катилось. Теперь буду внимательнее. Также с пристрастием рассмотрела задачники, ведь там могут попасться задачки и с качением (как кусочки скорлупы или косточек, о которых обычно предупреждают на батончиках или шоколадках). Обычно авторы учебников и задачников достаточно внимательны, поэтому мне не удалось найти много "компромата". Вот только парочка задач из задачника Пёрышкина, к которым можно придраться. И то с натяжкой.
Задача про закатывающийся шарик
В задачке 653 про шарик, строго говоря, нужно считать энергию по вузовской формуле 4mv²/5, которую школьники не знают. Но автор обходит этот момент - он не требует непосредственного расчета, а только ответа "да" или "нет". Причем по цифрам потенциальной энергии надо в два раза больше, чем кинетической mv²/2, и даже вращение не поможет шарику подняться. А вот полый цилиндр такой скорости закатиться бы мог. Коварство этой задачи в том, что если учитель захочет поменять цифры, он может столкнуться с тем, что поступательно движущийся шар барьер не преодолеет, а катящийся - преодолеет, будет несоответствие теории и эксперимента.
Ещё один подвох этой задачи - фраза "трение в расчет не принимать". Но без трения шар не может катиться, он будет проскальзывать. Так что трение должно быть. Другое дело, что работа силы трения при качении без проскальзывания будет равна нулю, ведь нижняя точка катящегося тела покоится относительно поверхности. Поэтому в задачах с качением применяют закон сохранения энергии, несмотря на трение.
Задача про автомобиль
В задаче про автомобиль вроде все хорошо. Сам кузов машины движется поступательно. Но колёса участвуют ещё и во вращательном движении. Поэтому при расчёте кинетической энергии автомобиля появится поправка, связанная с вращением колёс. Мне стало интересно оценить её, и я посчитала. Считаем колеса автомобиля однородными дисками массой m, всего их 4 штуки, считаем, что качение происходит без проскальзывания. Массу всего автомобиля вместе с колёсами обозначим M. На картинке итоговая формула. Кому интересен расчет с моментами инерции - пишите в комментариях, приложу. Просто лень сюда выписывать.
Для численного расчета возьмём автомобиль из задачника Пёрышкина, массой в 1 тонну, едущего со скоростью 108 км/ч (сразу переведём, 30 м/с)
Его кинетическая энергия по стандартной школьной формуле будет равна 1000*900/2 = 450 000 Дж = 450 кДж. Пусть масса колеса составляет 20 кг. Тогда поправка на вращение будет составлять 20*900 = 18 кДж. Таким образом, погрешность применения школьной формулы составляет 18/450 = 0,04, то есть 4%. По сути, погрешность равна отношению удвоенной массы колеса к массе машины: 2m/M.
Для школьных задач погрешность в 4% вполне допустима. Поэтому я продолжу обманывать и буду спокойно решать задачки с автомобилями. А вот с велосипедами этот фокус не пройдёт - масса двух колёс может быть, например, треть массы велосипеда. Правда, для велосипеда формула будет несколько другая, но порядок погрешности тот же - отношение масс. Задачек на кинетическую энергию велосипедов я в стандартных задачниках не встречала, наверное, это неспроста.
На этом заканчиваю статью. Школьники, думаю, не сильно пострадали от моего обмана. Им нужно запомнить формулу и закрепить её на задачах. Но для себя в очередной раз убедилась, насколько важно следить за границами применимости формул, и в порывах дать разнообразные примеры всё же не вылезать за эти границы.
Спасибо, что прочитали до конца! Буду рада лайкам и новым подписчикам!