Кратко и по сути:
Радость — пиковая позитивная стеническая эмоция. Проявляется в душевном подъёме, веселости, возбуждении созидательного характера. Часто, как ситуативная реакция на удовлетворённость каким-либо процессом.
Счастье — пролонгированное состояние психики возникающее в следствии глубокой внутренней удовлетворенности процессом собственной жизнедеятельности. Радость может являться элементом счастья, в ситуативных проявлениях.
С этимологической точки зрения, словообразование понятия "счастье" основано на частице "с-", которая в древности имела значение "вместе". Например, "Бог с ним" в значении "Бог вместе с ним". Корень "-часть-" - имеет значение доля, судьба, удел. То есть, то, что дано жизнью.
Итоговое значение: процесс принятия своей жизни, удовлетворённость тем, что имеешь.
Таким образом, мы видим, что "радость" и "счастье" близкородственные, смежные, но разноуровневые по отношению к психике понятия. Радостным можно быть в моменте, но нельзя "жить радостной жизнью". В отличие от этого "жить счастливой жизнью" - устойчивое выражение в нашем языке.