Санкт-Петербургский парадокс представляет собой мысленный эксперимент о принятии решений человеком в условиях риска. Он показывает, что математическое ожидание не всегда сходится с нашим интуитивным представлением о здравом смысле.
Прежде чем начать разбираться в самом парадоксе и понять причем здесь потенциальная выгода и столица на Неве, давайте рассмотрим, что такое математическое ожидание и как оно рассчитывается.
Что такое математическое ожидание?
Рассмотрим на примере: энтузиаст математики Гоша — любит в свободное время изучать различные математические теории и играть в азартные игры.
Ему предложили выбрать игру на деньги: выиграть либо 100 рублей с вероятностью 50%, либо 200 рублей с вероятностью 30%. Как понять, в какой из двух игр выгоднее участвовать? Можно рассчитать математическое ожидание выгоды от каждой игры, помножив шансы выиграть на сумму возможного выигрыша:
100 × 0.50 = 50 рублей — математическое ожидание от первой игры,
200 × 0.30 = 60 рублей — математическое ожидание от второй игры.
Получается, в этом случае ему выгоднее выбрать вторую, более рискованную игру. Сыграв в неё десять раз, он бы заработал 10 × 60 = 600 рублей, а сто игр с таким условием принесли бы 6 000 рублей.
Такие расчёты применяют не только в азартных играх, но и, например, при производстве товаров: из дохода от продажи всех качественных товаров вычитают процент брака, помноженный на убыток от каждого бракованного изделия.
В чём же заключается Санкт-Петербургский парадокс?
А теперь представим, что Гоша решил сыграть в игру с подбрасыванием монеты: орёл или решка. Он делает взнос за участие в игре и начинает подбрасывать монету. Как только она выпадает орлом вверх, игра заканчивается и игрок получает свой выигрыш. Размер выигрыша зависит от того, сколько раз была подброшена монета, и каждый раз выигрыш удваивается.
Если орёл выпал на первом же броске, игра заканчивается и Гоша получает 1 рубль. На втором броске выигрыш уже 2 рубля, на третьем — 4 рубля и так далее. За каждое подбрасывание номер n выигрыш составляет 2(n - 1) рублей. Игроку нужно выкинуть как можно больше решек перед тем, как выпадет орёл — ведь с каждым выпадением решки выигрыш вырастет вдвое: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 и так далее.
Сколько денег может выиграть Гоша в такой игре? Математическое ожидание говорит: бесконечно много. Давайте взглянем на расчёты:
½ × 1 + ¼ × 2 + ⅛ × 4 … = ½ + ½ + ½ … = ∞
Если в такую игру можно выиграть бесконечно много денег, то какой взнос за вступление в неё был бы рациональным? Получается, можно внести сколь угодно крупную сумму: и 10, и 600, и 10 000 рублей не будут, с математической точки зрения, слишком большой тратой — ведь потенциальный выигрыш бесконечен.
Парадокс также заключается в том, что реальные люди едва ли готовы внести много денег за участие в игре — ведь есть вероятность потерять весь свой взнос на первом же броске. Пример с математическим энтузиастом Гошей показывает, как наша интуиция может быть обманчива, когда мы имеем дело с бесконечными вероятностями и бесконечными выплатами. Философ Ян Хакинг пишет: «Немногие из нас заплатили бы даже 25 долларов за участие в этой игре».
Как рассчитать рациональную сумму взноса?
Попытки разрешить Санкт-Петербургский парадокс упираются, в первую очередь, в невыполнимость игры в реальной жизни. Количество бросков не может быть бесконечным: оно ограничено свободным временем, усталостью или даже продолжительностью жизни игрока. Да и ни одно казино не может пообещать выдать бесконечно огромную сумму денег: на каком-то броске игрока точно нужно будет остановить.
К тому же, сама природа денег не позволяет нам выиграть бесконечно много. Обсуждая парадокс в переписке с Николаем Бернулли, математик Габриэль Крамер отмечал: «На практике разумные люди оценивают деньги в соответствии с полезностью, которую могут из них извлечь». Но ведь чем больше денег, тем лучше? Оказывается, нет. Польза денег не может бесконечно расти с ростом их количества: однажды она достигнет потолка, при котором удвоение их числа уже не будет иметь практического смысла. По словам Габриэля Крамера, человек уже не может придумать, на что потратить 17 миллионов дукатов. По современным меркам: представьте, что один игрок внезапно получил выигрыш в 170 триллионов рублей, или долларов, или фунтов стерлингов. Даже если найдётся монетный двор, готовый напечатать для него эту сумму, выдача всех этих денег приведёт к инфляции, и выигрыш обесценится.
Предполагая, что игрок не будет заинтересован продолжать игру, дойдя до двадцать четвёртого броска и выигрыша в 224 ≈ 17 миллионов дукатов, Крамер приходил к выводу, что рациональный взнос за участие в игре составляет 13 дукатов — совсем немного, как и подсказывает людям здравый смысл.
½ × 25 + ((½)^-26 × 2^24 / 1 - ½) = 12,5 + 0.5 = 13
Развивая мысль Крамера, Даниил Бернулли утверждал, что люди воспринимают полезность денег по-разному. Бедняк обрадуется лишним 100 дукатам значительно сильнее, чем богач. Для игрока, у которого уже есть крупная сумма денег, каждое удвоение выигрыша будет нести всё меньше и меньше полезности — пока рост вовсе не потеряет смысл.
Сам Николай Бернулли смотрел на решение парадокса немного с другой точки зрения. Он полагал, что людям свойственно не учитывать крайне маловероятные события — если шанс события очень-очень мал, мы приравниваем его к невозможному. С ним частично соглашаются и современные экономисты, авторы теории поведенческой экономики Даниэль Канеман и Амос Тверски. С другой стороны, согласно их же исследованиям, если человек допускает, что событие маловероятно, но может произойти, то вес этого события для человека кажется преувеличенным. Именно поэтому многие готовы играть в азартные игры.
Однозначного и общепринятого решения Санкт-Петербургского парадокса не существует. Задача, предложенная математиком в XVIII веке, до сих пор влияет на анализ рынков акций и составление финансовых моделей. Если вы хотите подробнее ознакомиться с математической составляющей этого явления, читайте статью в «Большой российской энциклопедии»: https://bigenc.ru/c/sankt-peterburgskii-paradoks-3719c8.
***
Вся информация на портале «Большая российская энциклопедия» является верифицированной, прошла научную проверку на соответствие фактам. Вы можете ссылаться на любую статью bigenc.ru в своих научных статьях, курсовых и блогах.
Интересные материалы:
От Бауманки до списка Forbes и квантового компьютера: интервью с Алексеем Фёдоровым
Правда ли яблоко свалилось на голову Исаака Ньютона?
Искусство математики: как художники использовали золотое сечение
Почему быки реагируют на красный цвет?
Как Владимир Бехтерев развивал отечественную психиатрию