Когда я совершенно случайно наткнулась на то, что слово "день, свет" в шумерском языке звучало как [уд] (произношение шумерских слов мы знаем в аккадской передаче, а значит оно весьма приблизительное), то мне совершенно случайно напомнили сказали о том, что по-татарски "огонь" будет "ут".
Есть ли связь между шумерами и прототюрками - сказать затрудняюсь, но официальный ответ, безусловно, будет отрицательным. А я, как вы знаете, обычно как раз официальной науки и придерживаюсь.
Она утверждает, что в прототюркском существовало слово *ōt, которое означало "огонь" или "костер".
Основываясь на индоевропейском опыте, могу сказать, что понятия "день, свет" обычно не пересекаются с "огнем, костром". Корень *(h)eng- это семантика именно горения, а *dyew - это семантика света, неба, дня, чего-то белого и сияющего, возможно, солнца... но почему-то не огня.
Предположу, что для первобытного человека это были совершенно не родственные понятия. День и свет - это нечто, что исходит с неба, чисто визуально это просто антоним ночи и тьмы, это даже не конкретный предмет. А если говорить о солнце - то тогда и знать не знали, что его поверхность вечно горит. Это просто объект на том же небе, ассоциирующийся с днем и со светом.
А вот огонь - это конкретный предмет, который занимает определенное место в пространстве. Это то, чем нужно уметь пользоваться, обладать навыком контролировать, разводить и тушить костер. Он не ровный и белый, как дневной свет, а красновато-оранжевый и обжигающий, существовать может как днем, так и ночью.
Впрочем, я ни в коем случае не утверждаю, что индоевропейскую логику обязательно нужно накладывать на развитие тюркских языков и исключать связь "дня" и "огня". Просто материал для размышления и дискуссии.
А мы теперь переместимся поближе во времени и в пространстве. От прототюркского слова *ōt было образовано *ōtag, что значит "место для огня", "навес" или же "помещение" (вероятно, то, которое отапливается, по аналогии с нашей избой). Отсюда в турецком языке получилось слово "oda" ("комната").
В древнетюркском слово "otaɣ" могло обозначать не только само жилище, но и тех, кто в нем живет, таким образом добавилось значение "семья, община" (данные по Фасмеру).
И так оно попало в древнерусский, превратившись в "ватагу", только теперь это была не семья, а отряд или шайка. Появление звука [в] в начале слова для древнерусского это не редкость, такое случилось, например, со словом "восемь" (наглядно остались варианты типа "осьмушка", "осьминог" и иностранные аналоги, такие как, "ocho", "octopus", демонстрирующие, что в праиндоевропейском этого [в] не было), или "вострый" (вариант прилагательного "острый").
А ещё в прототюркском было слово *ōtčak, которым называлось конкретное место расположения костра или печки. Я взяла на себя смелость предположить, что и оно происходит от *ōt ("огонь").
А что сомнению не подвергается, так это то, что отсюда наше слово "очаг".
В турецком "ocak" это не только "очаг", но ещё и "январь". Видимо, единственный месяц в году, когда этот очаг требуется... *завидует.
В общем, судить вам, но я считаю, что вероятность того, что слова "ватага" и "очаг" однокоренные - максимально высокая :)