Какое, однако, модное нынче слово - "понимание"! Школьники, даже не зная толком, как это - "понимать", любят говорить с гордостью "я понял тему" или, с надрывом, "я ничего не понимаю" - и в обоих случаях они не очень-то близки к реальности.
Преподавание математики как отдельных тем изначально обречено на провал. В отличие от большинства школьных предметов, математика (и, вероятно, русский язык) требует комплексного изучения - здесь всё сильно взаимосвязано, поэтому бессмысленно изучать отдельно, скажем, деление с остатком и перевод неправильной дроби в смешанное число (сколько школьников понимает, что это одно и то же?); не говоря уже про теорему Пифагора, основное тригонометрическое тождество и уравнение окружности - единое в трёх лицах утверждение.
Но итогом всевозможных реформ в образовании и новаторских идей стало массовое убеждение школьников, что учиться математике можно (нужно) так же, как другим предметам - выучить тему и стать экспертом всея класса. Но если для изучения, скажем, Тридцатилетней войны на уроке истории не требуется знать о крещении Руси (образно), то в математике бесполезно изучать новые темы, пропустив старые. Хотя многие темы в школьном курсе повторяются, обрастая "мясом", но это рассчитано на тех, кто плохо усвоил какую-то деталь - иногда необходимо много повторений. Но это не значит, что можно пропустить какой-то из кирпичиков в основании этого здания, которое зовётся математическим образованием.
Математику нужно учить, чтобы привести ум в порядок. Базовые навыки рассуждения, элементарная логика - этого, к сожалению, нет в школах и в программе (хотя кружковские задачи в ВПР намекают, что когда-нибудь в программу что-нибудь полезное добавят) - но именно этому, на самом деле, должна учить именно школьная математика. Причём правильно преподанная математика учит всему этому ненавязчиво, не акцентируя на этом внимания - то есть школьник думает, что изучает какие-то отдельные темы, складывает какие-то числа, умножает буквы; тогда как на самом деле он учится логически грамотно рассуждать и в итоге сам видит связи.
К сожалению, привычка относиться к математическому образованию так же, как к изучению других предметов, укоренилась в популяции. И именно это, а вовсе не слишком сложный язык учебников и высокомерие учителей математики, закрывают путь к пониманию этой науки широкими массами.
У меня нет рецепта, как изменить парадигму массового мышления школьников в отношении математики. Сам уже больше десяти лет занимаясь спасением отдельных кружковцев от неправильного восприятия мира, навязываемого родителями и поддерживаемого школой, я не знаю, как распространять такие практики на массовую школу (и опыт - не самый удачный - внедрения в школы хороших идей, наподобие внеурочной деятельности, подсказывает, что ничего не получится): кружковцев в стране максимум тысячи, а большинство учителей мыслят неправильно, да и правильно мыслящим тяжело из-за того, что родители контролируют весь процесс обучения ребёнка и лезут со своими неправильными идеями.
Понимание математики - это не про то, чтобы решить задачу 147го типа 548ым способом. Можно ли добиться того, чтобы большинство людей это поняли? Сомневаюсь. Но хотелось бы.