Условие задачи:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH. Найдите углы треугольника AHF, если угол B равен 112°.
Решение:
1) В главе II §2 п.18 учебника на странице 34 даётся теорема:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол B – 112 ° (по условию), а углы при основании равны, то величина каждого из углов A и C равна:
(180 – 112) : 2 = 68 : 2 = 34°
2) Поскольку AF – биссектриса угла A, величина угла BAF равна:
34 : 2 = 17°
3) Рассмотрим треугольник ABF: угол B – 112 ° (по условию), угол BAF – 17 °, следовательно, угол F равен:
180 – ( 112 + 17 ) = 180 – 129 = 51°
4) У треугольника AHF угол H прямой по условию, так как AH – высота.
В главе IV §3 п.35 учебника на странице 75 даётся теорема:
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что поскольку сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а угол F – 51°, то величина угла HAF равна:
90 – 51 = 39°
Ответ: в треугольнике AHF угол H прямой по условию, угол F равен 51° и угол HAF равен на 39°.