Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу показать Вам решение одной достаточно стандартной задачи с параметрами, где речь фактически идет об исследовании положения параболы. Тем не менее, задача требует некоторой кропотливости, т.к. малейшая невнимательность приведет к неправильному ответу. Итак, поехали!
При каких значениях параметра а данное уравнение имеет два корня, которые принадлежат указанному отрезку?
В условии мы видим квадратное, относительно х, уравнение, описывающее параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент перед второй степенью больше нуля).
Нам необходимо пофантазировать, каким образом может располагаться удовлетворяющая нас парабола:
Параболы, которые отмечены красным цветом нам не нравятся:
у первой - нет корней вообще;
у второй - один из корней не принадлежит искомому отрезку.
Те, что отмечены белым - подходят. Что же их объединяет?
Во-первых, мы должны потребовать, чтобы дискриминант был строго больше, чем 0.
Во-вторых, очевидно, что вершина параболы должна находится строго между значениями -3 и 0:
В обратном случае, оба корня не смогут уместиться на одном отрезке.
В-третьих, мы можем заметить особенность поведения функции в граничных точках нашего отрезка:
На его концах функция должна быть неотрицательной (показано белым цветом). Если, f(-3)<0, то левый корень уже не может принадлежать нашему отрезку (показано красным цветом). Аналогичная ситуация и с f(0).
Таким образом, мы получили четыре условия, которые необходимо аккуратно раскидать:
В каждом из случаем у нас получаются квадратичные неравенства, которые решаются элементарно:
Ну а теперь, нужно всё это перенести на числовую прямую и не запутаться: