Постройте график функции у=|х-3|-|х+3| и найдите все значения k, при которых прямая у= kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Доброго времени суток, уважаемые читатели!
Занимаюсь репетиторством и самые интересные задания публикую на канале.
Сегодня пришла заявка от девятиклассника. Оставляю решение у себя, чтобы не потерялось и пригодилось в дальнейшем как мне, так и вам.
Решение.
Если знать, как раскрываются модули, то функцию у=|х-3|-|х+3| можно преобразовать в такую:
Откуда взялась эта сложная функция, давайте разбираться.
Вспомним определение модуля числа.
Модулем числа х называется само число х, если оно неотрицательно и противоположное ему положительное число -х, если х отрицательно.
На математическом языке это выглядит так:
|х| = х, если х≥0 (например, |5|=5);
|х| = -х, если х<0 (например,|-5|=-(-5)=5)
Подставим вместо х в это правило наши выражения. Первое выражение с модулем преобразится так:
|х-3| = х-3, если х-3≥0 или нагляднее х≥3.
|х-3| = -(х-3) = 3-х, если х-3<0 или х<3
А второе так:
|х+3| = х+3, если х+3≥0 или х≥-3
|х+3| = -(х+3) = -х-3, если х<-3
Разобьём числовую ось х на промежутки
х<-3, -3≤х<3, х≥3.
Определим, как меняются подмодульные выражения на каждом из этих промежутков.
1) Если х<-3, то:
|х-3| = 3-х (например,
|-4-3|=3-(-4)=7)
|х+3|=-(х+3) (например, |-4+3|=-(-4+3)=1
Тогда на промежутке х<-3 наша функция будет иметь вид
2) Рассмотрим промежуток -3≤ х< 3. На этом полуинтервале первое подмодульное выражение поменяет свой знак, а второе нет.
|х-3|=3-х (например,
|0-3|=3-0=3)
|х+3|=х+3 (например, |0+3|=0+3=3)
Подставим значения равных выражений без модуля в данную нам функцию и получим следующее:
3) Если х≥3, то первое и второе выражения раскроют свои модули так: |х-3|= х-3, |х+3|=х+3. (Проверьте подстановкой любого числа из промежутка сами)
Значит, мы можем построить часть графика на промежутке, если х ≥3, по такой функции:
Итак, нам нужно было построить график функции у=|х-3|-|х+3|
Мы будем строить идентичный этому график сложной функции
Такой график построить несложно:
Как найти все значения k, при которых прямая у= kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку, читайте в следующей статье.
Дорогие друзья!
Есть ли знакомые девятиклассники? Как готовятся к экзамену? Пишите об этом в комментариях.
Успехов в решении математических задач.
Автор канала Любовь.