Речь пойдет о натуральных числах. Я сейчас буду писать об имеющихся у меня гипотезах. Они еще нуждаются в опытной проверке. И это не столько математика, сколько философия и психология.
Сначала о понятиях
В принципе, представление о количестве не зависит от понятия числа. Поставьте на стол несколько кубиков и на каждый из них положите одну конфету. Вы сразу видите, что количество конфет такое же, что и количество кубиков, без ответа на вопрос "сколько?".
Счет путем нанесения зарубок на палочку — и потом: "Вот столько!" — относится к этой же теме.
А число это только способ назвать количество.
Математики скажут... а бог с ними, с математиками! Кто знает, тот уж знает, а кто не знает, тому новые слова ничего не дадут. Сейчас речь не об этом.
К примеру, я читал такое. Если у вороны в гнезде семь яиц, и одно из них забрать, то она этого не заметит. А если забрать одно из шести, то она станет беспокоиться. Это означает, что ворона владеет понятием количества до 6 штук включительно. С другой стороны, в человеческом языке количество "семь" означает "много", или даже "бесконечность": семь бед — один ответ, семь раз отмерь, семеро одного не ждут (а восемь ждут, что ли?), и т.д.
Между прочим, предыдущее значение "много" равно трем. Одна рука, две руки, много рук. Тоже сакральное число: святая троица (отец и сын — маловато будет!), три мира — правь, явь и навь —...
Так что напрашивается вывод, что представление о количестве до шести штук включительно врожденное. И этим количествам можно дать имена: один, два, три, четыре, пять, шесть — без процедуры пересчета. Просто показать
и сказать: "Это — три! И это. И это три."
А теперь внимание! Посмотрите на следующую картинку:
Вы видите здесь пять групп по три кружка. В каждой группе три кружка! Чтобы увидеть это, вы хотя бы одну группу пересчитывали тыкая пальчиком? Очень вероятно, что количество групп вы тоже увидели без пересчета. Это и означает, что количеством "три" и количеством "пять" вы владеете интуитивно.
А вот чтобы назвать их общее количество — пятнадцать — надо применить таблицу умножения, в которой числа больше порядковые, чем количественные, так как они выходят за пределы врожденного представления о количественном числе.
Порядковые числа — это те, которые возникают при пересчете. После двух всегда идет три, а четырнадцать — это следующее после тринадцати.
Когда дается команда: "По порядку номеров расчитайсь!" — и последний говорит: "Двенадцатый (надо понимать, по порядку), расчет окончен!" — то командир делает из этого вывод о количестве солдат в строю.
Другой, более сложный, пример. На столе выстроены в ряд сколько-то кубиков. Ваня пересчитывает слева направо, а Вася справа налево. Последнее названное порядковое число у них получится одинаковое. Если без ошибок, конечно. Почему?
- Потому что у них количество одно и то же;
- а между количествами и порядковыми числами существует четкое соответствие. Количество не зависит от порядка пересчета. И еще много от чего не зависит.
Это позволяет использовать последнее названное порядковое число в качестве имени количества, и тем самым распространить понятие количественного числа на значения, большие 6. Разумеется, предварительно убедившись, что в пределах первой шестерки количественные числа совпадают с порядковыми.
Соответствие между количествами и порядковыми числами —
такой же фундаментальный закон природы, как в физике совпадение инертной массы с гравитационной.
Дорогие читатели! Я надеюсь, что в начальной школе вам показывали, почему, например, 3 × 5 = 5 × 3, примерно так:
Если нет, то можете подать на школу в суд за некачественное оказание образовательных услуг.
Прошу обратить внимание на то, что, явно или неявно, мы здесь пользуемся тем фактом, что от поворачивания листа бумаги количество изображенных на нем объектов не изменяется.
Резюмируя, скажем вслед за философами, что количество есть объективная характеристика совокупности — она не зависит ни от того, кто о ней думает, ни в каком порядке пересчитывает, ни с какой стороны смотрит, ни от того, смотрит ли вообще, ни...
Теперь о воспитании детей
Мне кажется, что дети в малом возрасте владеют понятием количества в пределах до 6 включительно. И в этих рамках их можно научить операциям над числами.
Когда моя внучка была маленькой, был такой случай. Спрашиваю ее: "6 человек собрались ужинать [а это было на самом деле так]. А на столе, посмотри, стоят 4 тарелки [а это было на самом деле так]. Сколько тарелок не хватает?" Ответ: "Двух!" последовал моментально. Она не думала, не загибала и не разгибала пальчики, она просто видела это количество.
К сожалению, взрослые, заботясь о развитии ребенка, быстро обучают его процедуре пересчета: "Один, два, три, четыре" тарелки. В результате количественные числа быстро заменяется порядковыми, и их совпадение проходит мимо внимания ребенка. И как теперь в этом увидеть количество недостающих? Взять (порядково) шесть пальчиков и загнуть (порядково) четыре... А какое отношение это имеет к количеству? Здесь возникает понятийный и психологический барьер, который приходится преодолевать. Взрослые этого про себя не помнят...
К счастью, дети в этом возрасте очень доверчивы. Склонны принимать на веру все, что взрослые скажут. Это необходимое условие обучения на раннем этапе.
Вот еще задачка, которую хочу попробовать на внуке, но пока просто не было случая с ним встретиться. Показать ему 6 пальцев, пусть пересчитает (его уже обучили порядковым числам...). Потом спросить: вот 6 детей и два больших яблока. На сколько частей надо разрезать каждое яблоко, чтобы всем досталось поровну? Пальцы все еще перед глазами! Детей пересчитать он не может; точно ли количество детей совпадает с количеством пальцев? А теперь надо 6 пальцев разложить на 2 яблока.
Замена представления о количестве процедурой пересчета — количественных чисел порядковыми — представляется мне ошибочной тактикой. К сожалению, замена понятий процедурами (алгоритмами) характерна для сегодняшних представлений об образовании. Человека учат не понимать, а оперировать (исполнять алгоритмы). Я недавно писал об этом на другом примере:
И все-таки... Для тех, кому интересно.
Математики скажут
Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.
Количественными числами называются мощности конечных множеств.
Равномощные конечные множества имеют одинаковое количество элементов. Объединяя множества, не имеющие общих элементов, мы получаем сумму количественных чисел. Из свойств множеств получается коммутативность сложения. И так далее.
Другой подход к получению натуральных чисел — аксиоматика Пеано. Там главное неопределяемое понятие — следовать после. Например, число 3 следует после числа 2, и так далее.
Мы видим, что аксиомы Пеано определяют порядковые числа.
Но и в этой аксиоматике вводится сложение и доказывается его коммутативность.
Это все ужасно непрактично. Нормальные математики определяют натуральные числа громоздкой системой аксиом, в число которых коммутативность сложения и умножения входит явным образом. Так удобнее. Все эти изощренные подходы нужны только для того, чтобы получить обоснование развитой системы аксиом с помощью минимального набора понятий и предположений. Это нужно для анализа оснований математики.
И вот что интересно. Каким образом, почему можно порядковые числа Пеано использовать для указания мощности конечных множеств? Не будучи специалистом в основаниях математики, я не знаю ответа на этот вопрос. Но он, конечно, есть! Думаю, искать надо вот в каком направлении.
Для конечных множеств соответствие между их элементами можно установить с помощью порядковых чисел — номеров. Первый элемент одного множества пусть соответствует первому элементу другого, второй одного — второму другого, и т.д. Если пересчет в обоих случаях закончится на одном и том же номере, то множества равномощны, а количества элементов в них одинаковы. Независимость итогового результата пересчета от порядка, в котором этот пересчет делается, наверное, доказывается в аксиоматике Пеано.