Разложение многочлена на множители способом группировки
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примере решения примеров № 709 (а) и 712 (а) из 8-го издания учебника по алгебре для 7-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А Теляковского предлагаю вспомнить разложение многочлена на множители способом группировки.
Пример 709 (а):
Разложите на множители многочлен mx + my + 6x + 6y.
Решение примера:
Сгруппируем члены этого многочлена так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
mx + my + 6x + 6y = (mx + my) + (6x + 6y).
В первой группе вынесем за скобки множитель m, а во второй – множитель 6:
(mx + my) + (6x + 6y) = m(x + y) + 6(x + y)
Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель x + y. Вынесем этот общий множитель за скобки:
m(x + y) + 6(x + y) = (m + 6) (x + y).
Ответ: mx + my + 6x + 6y = (m + 6) (x + y).
Верность решения легко проверить, используя правило умножения многочлена на многочлен:
(m + 6) (x + y) = mx + my + 6x + 6y.
Пример 712 (а):
Представьте в виде произведения многочлен mn – mk + xk – xn.
Решение примера:
Сгруппируем так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
mn – mk + xk – xn = (mn – mk) + (xk – xn).
В первой группе вынесем за скобки множитель m, а во второй – множитель x:
(mn – mk) + (xk – xn) = m(n – k) + x(k – n).
Первое слагаемое получившегося выражения имеет множитель n – k, а у второго множитель k – n, то есть n – k, умноженное на – 1. Получается, что для того, чтобы, у обоих слагаемых был общий множитель, надо во второй группе выносить за скобки не x, а (– x).
(mn – mk) + (xk – xn) = m(n – k) – x(– k + n) = m(n – k) – x(n – k).
Теперь вынесем множитель n – k за скобки.
m(n – k) – x(n – k) = (m – x) (n – k).
Ответ: mn – mk + xk – xn = (m – x) (n – k).
Как и в примере 709 (а), верность решения можно проверить, умножив каждый член одного многочлена на каждый член другого:
(m – x) (n – k) = mn – mk – xn + xk.
Немножко разный порядок слагаемых, но от их перемены сумма не меняется и поэтому равенство mn – mk + xk – xn = (m – x) (n – k) является верным.