Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить некоторые свойства треугольника на примере решения задач 258 и 256 из 9-го издания учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк и И. И. Юдиной под научным руководством академика А. Н Тихонова.
Условие задачи 258:
Из середины D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой AC. Найдите AM, если AB = 12 см.
Решение:
Рассмотрим треугольник MDC. Из условия задачи нам известны величины двух углов и длина гипотенузы: угол M – прямой, так как DM – перпендикуляр к прямой AC, угол C – 60°, так как треугольник ABC – равносторонний, и сторона DC – 6 см, так как D середина стороны BC равностороннего треугольника ABC, все стороны которого по 12 см.
1) Согласно первому свойству прямоугольных треугольников (глава IV §3 п.35 учебника на странице 75) сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, следовательно, величина угла D равна:
90 – 60 = 30°
2) По второму свойству прямоугольных треугольников, катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Доказательство этого свойства приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что мы можем найти длину стороны MC:
6 : 2 = 3 см
3) Зная, что каждая сторона треугольника ABC равна 12 см, а AM короче стороны AC на длину MC, находим:
12 – 3 = 9 см
Ответ: AM = 9 см.
Условие задачи 256:
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение:
1) Мы уже повторили, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, следовательно, величина угла B равна:
90 – 60 = 30°
2) По второму свойству прямоугольных треугольников, катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Пусть AC = X, тогда BC = 2X. Зная, что сумма длин сторон BC и AC равна 26,4 см, составляем уравнение:
X + 2X = 26,4
3X = 26,4
X = 26,4 : 3
X = 8,8 см длина катета AC.
8,8 * 2 = 17,6 см длина гипотенузы BC.
Ответ: длина гипотенузы равна 17,6 см.