Олимпиадные задачи 6 класса#2

Мы продолжаем нашу подборку задач с 6 класса. Напоминаю, перед прочтением решения лучше решить всё самому, тем более что эти задачи не очень сложные и могут послужить отличной разминкой для мозгов. Сегодня будут полезные примеры задач на часто встречающиеся темы.

1. В лифте 18-этажного дома есть кнопки "-2", "-3" и "*2". Петя вошёл в лифт на 1 этаже. На каком наибольшем числе этажей он может побывать, катаясь на лифте, если на каждом этаже разрешено останавливаться не более одного раза.

Это стандартная задача на оценку+пример. Нужно доказать, что больше, чем x нельзя, а также придумать пример на x. На олимпиадах обычно за только оценку дают 2/3 баллов, а за только пример- 1/3 баллов.

Решение: На 17 этаж мы попасть никак не можем, потому что иначе прошлыми этажами были 19, 20 или 8.5, а таких у нас по условию нет. Значит максимум можно побывать на 17 этажах.

Пример:

1 2 4 8 16 14 11 9 18 15 13 10 7 5 3 6 12

Ответ:17

2. В батутном центре 81 батут. Они располагаются в виде квадрата 9*9. На каждом батуте прыгал один ребёнок. А в некоторый момент каждый ребёнок перепрыгнул со своего батута на соседний по диагонали(возможно, несколько детей оказались на одном батуте). Докажите, что теперь хотя бы 9 батутов пусты.

Это стандартная задача на раскраску, где мы красим клетчатое поле в несколько цветов, и это нам даёт какую-то информацию.

Решение:Покрасим этот квадрат 9*9 в так называемую "матрасную" раскраску: первая строка чёрная, вторая - белая, третья - чёрная, четвёртая - белая и т.д. По рисунку можно увидеть, что когда ребёнок прыгает по диагонали, он оказывается на батуте противоположного цвета. Значит те, кто были на белых, будут на чёрных, а те, кто были на чёрных, будут на белых. Посчитаем количество белых и чёрных клеток. Белых - 36. Чёрных-45. Тогда хотя бы 45-36=9 чёрных клеток будут свободны.

Ч.т.д.

(когда-нибудь возможно сделаю полную статью про различные раскраски, так же как и про оценку и пример)

3. В школе 100 учеников, среди них есть только честные девочки и лживые мальчики(и девочки, и мальчики обязательно есть). Директор каждому задал вопрос "Сколько среди вас девочек?". Все 100 учеников дали 100 различных ответов. Какое число ТОЧНО было названо?

Решение: Посмотрим, что произойдёт, если у нас будет больше одной девочки. Они говорят правду, следовательно(о ужас) назовут одно и то же число, что противоречит условию задачи. Значит девочка одна. А, т.к. она говорит правду, то точно будет произнесено число 1.

Ответ:1