Олимпиадные задачи 6 класса#1

Я где-то откопал свою тетрадь за 6 класс, поэтому сейчас буду мучить вас задачами оттуда. Они все достаточно простые и подойдут для разминки мозгов, поэтому советую перед прочтением решения сначала решить их самому. Это будет серия статей, тк все интересные задачи из этой толстенной тетради не вместятся в одну. Буду разбирать по 3 задачи за раз.

1. Вася выписал числа от 1 до 99. Под каждым числом он записал произведение его цифр. Сколько полученных произведений содержат в своей записи нуль?

Решение:Подумаем, какое самое большое произведение может быть. Это, очевидно 9*9=81. Значит все произведения будут однозначными или двузначными. Однозначно произведение с нулём - это только 0. Под него подходят все числа, содержащие 0, т.е. 10, 20, 30 и т.д.(всего 9 чисел). Теперь рассмотрим двузначные произведения. Двузначные произведения с 0 получаются только тогда, когда мы умножаем 5 на чётное число(т.к. мы не можем умножать 10, т.к. перемножаем цифры числа). Тогда это числа 25, 45, 65, 85, 52, 54, 56, 58. Их ещё 8. В итоге получаем 9+8=17.

Ответ:17

2. В группе пятиклассников у каждого спросили: "Сколько среди твоих одногруппников мальчиков?". Каждый из опрошенных назвал верное натуральное число, сумма всех названных чисел 35. Сколько в группе детей? Сколько среди них мальчиков и сколько девочек?

Напоминаю, что лучше сначала подумать над задачей самому.

Решение: Все девочки говорят точное число мальчиков в группе, мальчики же говорят количество мальчиков минус 1(т.к. они не считают себя). Обозначим количество мальчиков за М, девочек за Д. Тогда:

М*(М-1)+Д*М=35

М*(Д+М-1)=35. Т.к. количество и девочек, и мальчиков - целое число(сегодня обойдёмся без расчленёнки), то мальчиков может быть либо 1, либо 5, либо 7, либо 35.

Теперь можно просто честно перебрать все эти четыре варианта.

Если 1:

То мальчик назовёт 0 как число одногруппников, а 0 - не натуральное, значит не подходит.

Если 5:

5*(Д+5-1)=35, значит девочек 3 штуки. Тут без противоречий, этот ответ нам подходит.

Если 7:

7*(Д+7-1)=35. Тогда девочек -1, такое вряд ли случится. Противоречие.

Если 35:

35*(Д+35-1)=35. Девочек -33. Противоречие.

Значит мальчиков 5, а девочек 3.

Ответ:8 детей:мальчиков 5, девочек 3

И последняя(но не по значимости) на сегодня задача:

3.В течение недели одноклассники играли в теннис. Оказалось, что каждый из них сыграл ровно 6 партий. Могло ли случиться так, что всего за неделю было сыграно ровно 40 партий?

Решение: Посмотрим, сколько бы было людей, если бы каждый сыграл всего 1 раз. В партии два человека, значит 40*2=80. Но,(к сожалению?) каждый сыграл 6 раз. Тогда всего людей 80:6=13,(3). Деление людей на трети мы оставим серийным убийцам, поэтому тут противоречие и такого быть не могло.

Ответ: нет, не могло

Надеюсь, вы решили все задачи. Я буду продолжать эту рубрику, выкладывать новые три задачи каждый день, пока они не закончатся. А на сегодня пока!