Лёгкие задачи, которые притворяются сложными

Ну чтож. Я наконец решил вернуться к своему заброшенному блогу с разборами олимпиадных(и не только) задач. Сегодня я разберу две задачи, которые могут показаться сложными на первый взгляд, но на самом деле решить их можно с минимумом знаний.

1. Можно ли многочлен P(x)=2x^4+8x^3+12x^2+8x+1 представить в виде суммы квадратов нескольких многочленов с целыми коэффициентами(или квадрата одного многочлена)?

Задание сложное, пока не прочитаешь условие. Нам нужно найти квадраты, сумма которых равна этому многочлену. Вспомним то немногое, что мы знаем о квадратах. Они больше или равны нулю. Значит и их сумма больше или равна нулю(при любом x). Однако если подставить в данный многочлен x=-1, то он выдаст нам P(-1)=-1. Значит, раз он принимает отрицательные значения, то суммой квадратов быть никак не может.

Мы разогрелись перед чуть больше сложной, но всё так же простой задачей.

2.Решите уравнение:

(x^2+3x-4)^3+(2x^2-5x+3)^3=(3x^2-2x-1)^3

Конечно, это уравнение шестой степени можно решать и обычными методами, раскрывая скобки и пытаясь как-то упростить этого монстра, однако можно решить всё гораздо более элегантно.

Можно заметить, что выражение в скобках в правой части уравнения - это сумма выражений в скобках в левой части уравнения. Тогда мы можем представить это уравнение как a^3+b^3=(a+b)^3

Решаем:

a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

3ab(a+b)=0

Тогда либо a=0, либо b=0, либо a+b=0. У нас получается совокупность из трёх квадратных уравнений, каждое из которых не составляеь труда решить по отдельности и получить желаемый ответ.

Это всё, что я хотел вам сегодня показать. Помните:сначала думайте, а потом решайте!