Признак равнобедренного треугольника
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить признак равнобедренного треугольника на примере решения задачи 242 из 9-го издания учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк и И. И. Юдиной под научным руководством академика А. Н Тихонова.
Условие задачи:
Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
Решение:
Рассмотрим треугольник ABC, внешний угол этого треугольника BCD и его биссектрису CE.
1) В главе III §1 п.25 учебника на странице 53 даётся теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что если прямые AB и CE параллельны, то углы ABC и BCE (обозначим их цифрами 1 и 2) равны, поскольку они являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CE секущей BC (на рисунке эти углы отмечены зелёным цветом).
2) В главе III §1 п.25 учебника на странице 54 даётся теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Исходя из этой теоремы, если прямые AB и CE параллельны, то углы BAC и ECD равны (3 и 4), поскольку они являются соответственными при пересечении прямых AB и CE секущей AD (на рисунке эти углы обозначены красным цветом).
3) Поскольку CE – биссектриса угла BCD, углы 2 и 4 равны, следовательно, угол 1 равен углу 3.
В главе IV §2 п.33 учебника на странице 71 даётся теорема:
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Одним из следствий этой теоремы является тот факт, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника)
Стороны AC и BC равны между собой, так как лежат напротив равных углов, следовательно, треугольник ABC – равнобедренный, что и требовалось доказать.