Продолжаем изучать решение Керра для вращающегося тела (сегодня о черных дырах). У решения два параметра: к массе М добавляется момент вращения J, который можно заменить параметром a=J/M (в системе единиц c=1, G=1 оба параметра имеют размерность массы). Причем вращение имеет свой вклад и в массу. И оно не может быть каким угодно: максимальное значение а при данной М есть М. Это экстремальная керрова черная дыра. Отсюда следует, что при нулевой массе метрика плоская, вращение может добавить массы телу, но не может создать массу. Всё это мы обсудили в прошлой заметке.
Метрика содержит три сингулярности (а не две как у Шварцшильда). У Шварцшильда есть истинная, неустранимая преобразованием координат сингулярность при r=0, то есть в центре. У Керра немного сложнее, но истинная сингулярность тоже есть. Это не точка.
Вторая сингулярность Шварцшильда - горизонт событий, r=2M. От нее можно избавиться переходом в другую координатную систему, например, связав ее со свободно падающими частицами. Они проходят горизонт за конечное собственное время и никак этот роковой момент для них не примечателен. У Керра таких горизонтов два, они задаются уравнением
(r - M)² = M² - a².
Если вращения нет и а=0, то либо r=0, либо r=2M. Это случай Шварцшильда. Если вращение экстремально и a=M, то r=M. Горизонты сливаются. В остальных случаях имеем два горизонта. Случай a>M, очевидно, исключён. Иногда пишут о "голых сингулярностях" не укрытых горизонтом, но мне это кажется необоснованным.
У Шварцшильда ниже горизонта, то есть при r<2M, пространство и время меняются местами, так как меняются знаки при dt² и dr². В итоге движение к центру так же необратимо, как движение в будущее в обычном плоском пространстве-времени. Замедлить можно, остановить и тем более обратить - никак.
У Керра между двумя горизонтами тоже так, но как только достигнете нижнего горизонта, знаки опять меняются, область становится времениподобной, и движение к центру уже не является обязательным.
Но выбраться из-за горизонта никак нельзя.
Вне внешнего горизонта есть еще одна поверхность: эргосфера. Ее уравнение включает в себя косинус координаты, аналогичной долготе:
(r - M)² = M² - a²cos²θ, берется больший корень.
На полюсах, через которые проходит ось вращения, θ=0 и θ=п, так что там квадрат косинуса равен 1 и эргосфера касается горизонта. На экваторе косинус равен нулю и эргосфера дальше всего от горизонта. Она имеет форму эллипсоида.
Смысл эргосферы: на ней скорость увлечения систем отсчета равна скорости света, так что на ней и внутри нее невозможно не вращаться.
С греческого "эрго" переводится как "работа", потому что частица, залетевшая в эргосферу, закручивается, получая энергию, и может выбраться наружу, ведь она не долетела до горизонта. Вращающаяся черная дыра обязательно отдает свою энергию вращения пролетающим мимо частицам. Вот уже и способ выкачать энергию: пускать в черную дыру частицы низкой энергии и получать обратно более энергичные. Угловая скорость изначально незакрученной частицы не равна нулю и зависит от а, r и широты.
Свет, выпущенный на эргосфере против направления вращения покоится с точки зрения отдаленного наблюдателя.
Скорость вращения самого горизонта (внешнего) определяется как минимальная угловая скорость частицы на нем. Она равна
a/(a²+r²),
где r означает радиус горизонта. В экстремальном случае a=r=M, и эта скорость равна 1/(2M). Линейная скорость получается умножением на радиус и, следовательно, она равна ½. Половине скорости света.
Увлечение есть и вне эргосферы: любое вращающееся тело закручивает неподвижные частицы. Просто очень слабо. Чем ближе к вращающейся черной дыре, тем этот процесс сильнее, а на эргосфере он предельно силен, скорость для противодействия закручиванию равна скорости света. Внутри эргосферы она еще выше, то есть там противостоять закручиванию ничто не может, как ничто не может убраться с горизонта наружу.
S.J. van Tongeren; Rotating Black Holes. NS-TP501M - Student Seminar 19 November 2008