Рассмотрим известный парадокс: два космических корабля связаны натянутой веревкой и стартуют из состояния покоя с одинаковыми ускорениями. С одной стороны, скорости кораблей всё время равны, пройденные пути тоже, и расстояние между кораблями неизменно. Веревка не должна порваться. С другой же стороны, из-за лоренцева сокращения, веревка сократится и порвётся.
На самом деле, верёвка порвётся: в системе отсчёта в покое потому, что претерпела лоренцево сокращение, а в системе отсчета, сопутствующей кораблю - из-за неодновременности старта. Передний корабль будет уверен, что задний опоздал, а задний будет уверен, что передний дал фальшстарт.
Статья J. Franklin 2018 года очень понятно всё объясняет.
Сначала установим, что такое инвариантная длина: это длина объекта в покое. Никаким физическим растяжениям, напряжениям и деформациям лоренцево сжатие не приводит, просто потому, что движение относительно, и кто там считает тебя движущимся - не должно приводить к деформациям.
Теперь смотрим на картину из покоящейся системы отсчета. Корабли в ней сначала покоятся, но испытывают постоянное ускорение, в связи с чем набирают (одинаковую) скорость, проходят одинаковые расстояния и, таким образом, расстояние между ними сохраняется неизменным. Но длина нити, инвариантная, физическая длина есть длина в той системе отсчета, в которой нить покоится. Это мгновенно-сопутствующая система отсчета, имеющая скорость, равную мгновенной скорости кораблей и нити.
Перейдя в это систему, мы получим, что расстояние между кораблями увеличилось на фактор γ, γ²(1-v²)=1. Это означает, что нить растянулась. Но она по условию нерастяжима, а значит, она порвалась.
Обычно в контексте лоренцева сокращения расстояние, неизменное в покое, сокращается в подвижной системе отсчета. Сокращается просто потому, что эталоны длины там больше. А тут ситуация вывернута: расстояние в движении постоянно, а в покое, соответственно, больше.
Можно рассмотреть систему из кораблей и веревки как твердое тело, потребовав, чтобы веревка не рвалась. Какие тогда будут ускорения?
Если собственное ускорение корабля равно а', то в системе, в которой корабли движутся со скоростью v, оно равно a=а'γ³. Это легко получить из формулы сложения скоростей, прибавляя к скорости v набранную за малое время скорость a'ds, где s - собственное время: это даст
(v+a'ds)/(1+va'ds). Вычтем отсюда v и поделим на ds:
a'(1-v²)/(1+vads).
Устремляя ds к нулю, приходим к формуле a=a'(1-v ²)=a'/γ². Переходя от собственного времени s к координатному t, мы еще раз делим на γ.
Нетрудно проверить, что такое ускорение a'=aγ³ равно производной по t от γv. В самом деле, дифференцируя произведение, мы получим два слагаемых: одно γa, а другое γ³v(va). Поскольку движение на одной прямой, то ускорение параллельно скорости, и второе слагаемое равно γ³v²a. Вынесем за скобки γa:
γa(1+γ²v²)=γaγ²=aγ³.
Интегрируя это соотношение a'=d(γv)/dt, мы получаем a't=γv.
Отсюда выразим v (она в γ тоже входит):
Обозначим этот корень буквой F(t): F²=1+(a't)². Тогда можно найти длину, проинтегрировав dx:
x-x₀ = (F-1)/a'.
Если собственные ускорения кораблей a'₁ и a'₂ одинаковы, то и расстояние между ними тоже одинаково. В системе отсчета, в которой они мгновенно в покое:
для одного корабля x=(F-1)/a'₁, для другого x=d+(F-1)/a'₂
Теперь вернемся немного назад к формуле a't=γv и выразим из нее время: t=γv/a'. Кроме того, сравнив два выражения для скорости:
v=ta'/γ и на картинке, мы получим равенство γ=F.
Если ускорения могут быть разными, то нас интересуют позиции наших кораблей в тот момент, когда они имели одну и ту же скорость v. Первое соотношение позволит получить время: t=γv/a' для каждого корабля, а для координат кораблей имеем
(γ-1)/a'₁ и d+(γ-1)/a'₂.
Разница этих положений равна Δx = d + (γ-1)δ, δ=1/a'₁-1/a'₂, а разница времен равна Δt = γvδ. Переходим в неподвижную систему отсчета, в которой расстояние между кораблями всегда d:
d = γ(Δx - vΔt) = γ(d + (γ-1)δ - γv ²δ) = γd + (1-γ)δ.
Отсюда мы получаем d=δ, что означает, что δ не нуль, а значит, ускорения различны.
Итак, постоянные ускорения двух кораблей связаны и не равны друг другу в системе отсчета, в которой корабли мгновенно покоятся. Поддержание таких ускорений сохраняет постоянное расстояние между кораблями в этой системе отсчета, то есть сохраняет физическое расстояние. Для твердого тела ускорения вдоль него различны, формула та же, но теперь она описывает распределение ускорений. Чтобы тело было твердым, ускорения должны быть разными. Либо какие-то двигатели в разных частях, либо само тело, сохраняя свою форму, распределяет ускорение от двигателя по себе. При этом различные ускорения не приводят к напряжениям в теле, и напротив: однородное ускорение такие напряжения создает.
Не напрягайтесь, релятивисты!