Мое первое математическое открытие

Когда я рассказываю о нем своим родственникам, они смеются: очень уж очевидный факт был "открыт". Но по накалу эмоций, сопровождавших эту деятельность, по классическому пути
Наблюдение — Гипотеза — Доказательство — Ошибка — Исправление
эта история на одном уровне с настоящими открытиями.

Но сначала

Первое математическое открытие
А.Н. Колмогорова

Согласно Википедии, оно было сделано в 5-летнем возрасте. Суть его в том, что

сумма первых нечётных чисел является полным квадратом их количества (например, 1+3+5=3²).

Доказательство несложно. Достаточно заметить, что (n + 1)² − n² = 2n + 1, и применить принцип математической индукции.

Не думаю, что Колмогоров в 5-летнем возрасте владел этим. Скорее всего, это было просто интересное наблюдение. Хотя принцип матиндукции интуитивно очевиден и мог быть применен неявно.

Наткнувшись на эту историю о Колмогорове, я и решил поделиться своей.

А теперь моё

Ориентировочно, я учился во втором классе. Ну, то есть в третьем. Это значит, мне 8 лет (не 5!).

В моем школьном образовании второй класс был пропущен. Вследствие этого у меня всегда был плохой почерк. Впрочем, если бы я протосковал год во втором классе, неизвестно, что хорошего из этого получилось бы.

Так вот! Стою я после школы в очереди за молоком. И от нечего делать стал играть в числа. Если взять, например, 24 и переставить цифры, то получится 42. Сложим с исходным числом, 66. Две одинаковые цифры!

Возьмем другое число: 54. Плюс 45, получается 99. Опять две одинаковые. И так далее...

Гипотеза. Если сложить двузначное число с результатом перестановки в нем цифр, то получится сумма с двумя одинаковыми цифрами.

Ученый (и наука вообще) начинается со слова "почему?". Кстати, и религия тоже.

Ответ нашелся моментально:

Доказательство. И при сложении единиц, и при сложении десятков мы складываем одни и те же цифры, только в другом порядке. А сумма от порядка слагаемых не зависит.

Упоение красотой результата было безнадежно смято, когда я по дороге из магазина домой попробовал 59 + 95. В чем дело? А-а, так это надо, чтобы сумма цифр помещалась в один разряд. Уточняем формулировку:

Теорема. Если сумма цифр двузначного числа не больше 9, то если сложить его с результатом перестановки в нем цифр, получится сумма с двумя одинаковыми цифрами.

А как в случае, когда сумма цифр больше 9? Хочется тоже сказать что-то положительное. Продолжаю фантазировать. И получаю:

Теорема. Если двузначное число сложить с результатом перестановки в нем цифр, то получится сумма, равная произведению суммы цифр данного числа на 11.

Доказательство. Сколько-то единиц плюс столько же десятков в сумме дают столько же раз по 11.

Следствие 1. Если сумма цифр двузначного числа меньше 10, то если сложить это число с результатом перестановки в нем цифр, сумма будет состоять из двух одинаковых цифр.

Доказательство очевидно.

Следствие 2. Если сумма цифр двузначного числа 10 или более, то если сложить это число с результатом перестановки в нем цифр, сумма будет состоять из трех цифр, старшая из которых 1, а средняя на 1 больше цифры единиц.

Если честно, то полное доказательство этого следствия было получено мной годом или двумя позже; оно требует бóльшей культуры мышления. На описываемом этапе я ограничился наблюдениями и гипотезой.

Доказательство поэтапно.

1. Сумма цифр двузначного числа не превосходит 18.

2. При умножении двузначного числа на 11 в разряд сотен результата идет цифра десятков, в разряд единиц — цифра единиц, а посередине ставится сумма этих цифр, если она помещается в один разряд.

3. Сумма цифр каждого числа от 10 до 18 включительно помещается в один разряд и на 1 больше цифры единиц.

Замечание. Не уверен, что мне было знакомо слово "доказательство". Но необходимость давать аргументированный ответ на вопрос "почему?" была мне ясна.