Начало статьи здесь.
Пределы
Число е открывает интересный эффект: мы бесконечно увеличиваем или уменьшаем аргумент, а значение функции все время приближается к какому-то числу, но так и не достигает его.
На примере функции видно, чем больше значение х, тем ближе значение f(x) к нулю, но график функции никогда не достигает 0, а только бесконечно приближается к нему.
Читается так: «При x, стремящемся к бесконечности, функция 1/x стремится к 0»
Производные
Производная показывает угол наклона функции, и с её помощью удобно измерять скорость изменения функции в любой точке. Производные функций часто используются в машинном обучении и других математических алгоритмах.
Т.к. производная функции это скорость изменения функции вспомним формулу скорости:
Математически уравнение мгновенной скорости можно представить через предел:
Частные производные
Частные производные – (как частный случай) это производные от функций у которых несколько аргументов.
Для данной функции график представляет собой некую плоскость. Для того, чтобы не находить угол наклона функции на трехмерной плоскости, его находят для каждого аргумента, принимая, что остальные переменные остаются постоянными. Как бы делая сечение графика функции, как сечение (срез) фигуры в геометрии.
У функции с несколькими аргументами есть производные по каждому аргументу. Изменение угла наклона в многомерной плоскости принято называть градиентами.
Цепное правило (Правило дифференцирования сложной функции)
Цепное правило — это метод дифференциального исчисления для нахождения производной сложной функции. Оно применяется, когда функция представляет собой композицию двух или более функций, то есть имеет вид h(x) = f(g(x)).
Формулировка правила:
Если h(x) = f(g(x)) , то производная h'(x) равна произведению производной внешней функции f, вычисленной в точке g(x), на производную внутренней функции g:
Обобщение для нескольких функций:
Если функция состоит из цепочки трёх и более функций, например, h(x)=f(g(k(x))), то производная вычисляется последовательным умножением производных каждого "звена":
Примеры применения:
Мнемоническое правило:
Представьте, что вы дифференцируете функцию снаружи внутрь, умножая производные на каждом шаге ("распутывайте цепь").
Важные замечания:
- Цепное правило работает только если все функции в цепочке дифференцируемы.
- Его часто комбинируют с другими правилами, например, с правилом произведения или частного.
Символическая запись через дифференциалы:
Цепное правило — ключевая составляющая обучения нейронной сети с нужными значениями весовых коэффициентов и смещений. Вместо того чтобы по цепочке вычислять производные каждого вложенного узла, можно перемножить производные всех узлов, что с математической точки зрения гораздо проще.
Интегралы
Интеграл — это одно из ключевых понятий математического анализа, тесно связанное с двумя основными задачами:
1️ Нахождение площади под кривой (определенный интеграл).
2️ Восстановление функции по её производной (неопределенный интеграл).
Типы интегралов
Для понимания процесса нахождения площади под кривой, достаточно разложить область под графиком функции на некоторое количество прямоугольников и сложить их площади. При этом при увеличении количества частей будет расти точность определения интеграла.
Интегралы — мощный инструмент для решения задач, где требуется "суммирование бесконечно малых величин" или восстановление функции по её скорости изменения.
#Math