(предыдущая попытка ввода суммы была неудачной)
В статье будут кратко рассмотрены понятие группы, поля и введено понятие сложение для тригонометрических чисел.
Прежде чем начать, расскажу, почему не удалась предыдущая попытка. Тригонометрические числа я ввёл для того, чтобы разрешить некоторые противоречия в области вещественных и комплексных чисел. С умножением, возведением в степень всё работает хорошо. Я ожидал, что со сложением будет что-то подобное, и первое практическое применение сложения возникло при решении кубического уравнения методом Кардано. Как я полагал, сложение должно было определяться таким образом, что корней получалось бы ровно три, а другие суммы были бы не определены. Вот такой подход не сработал.
1. Группа. Если кратко, то в группе разрешено либо сложение (и обратная операция вычитания), либо умножение (с делением).
Вообще говоря, сложение или умножение, это неважно, можно ввести другую операция, сопоставляющую двум числам третье, главное , чтобы соблюдались правила:
- - закон композиции (получаемое число принадлежит группе),
- - закон ассоциативности,
- - существование единичного элемента (для суммы это 0, а для умножения 1, т.е. этот элемент не изменяет число при заданной операции),
- - существование обратного элемента (проще говоря, если у нас операция сложения, то есть и вычитание, а для умножения вводится деление).
Как я сказал вместо сложения или умножения можно, вообще говоря, придумать и другую операцию.
2. Поле. В стандартном определение поле это система двойной композицией, т.е. для него введены правила сложения и умножения. Также есть дополнительные правила, типа раскрытия скобок (законы дистрибутивности).
Как я говорил выше, операции сложения у умножения условны и можно придумать другие операции. Также можно ввести три и более операций над числами, но всё это будет экзотика.
3. Введение суммирования для тригонометрических чисел.
Правило умножения для тригонометрических чисел.
(Двум различным тригонометрическим числа a и b сопоставляется третье число c по обычным правилам умножения (здесь нет ничего нового).
Двум подмножествам A и B сопоставляется подмножество С. Точнее, если подмножество А состоит из n чисел, а подмножество B из m чисел, то подмножество C состоит из mn чисел. Запись выше для отдельных чисел не противоречит этому правилу.
Правило сложения для тригонометрических чисел.
Двум подмножествам A и B сопоставляется бесконечное подмножество C.
В этом правиле неважно, складываем ли мы какие-то подмножества из нескольких чисел или складываем просто два числа, не равные нолю, в результате мы получим выражение вида:
Мы получили в результате сложения двух чисел не число, а множество.
Однако, введём число 0 (ноль), при сложении с которым число (или подмножество) не меняется, и мы не получаем в результате бесконечное множество. Отсюда можно определить естественным образом и обратный элемент.
4. Замечание.
Если мы обратимся к определению поля, то здесь получено поле над множествами. Противоречий пока не вижу.