Приветствую читателей и подписчиков канала Тесты_математика!
Продолжаем рассматривать вычисления дробей в дробной степени. И таким примером является предложенная далее задача.
Задача.
Вычислите выражение:
(5/2)^(2/5).
По сути это корень пятой степени из (5/2)^2
√∛(5/2)^2.
Решаем эту задачу путём простых преобразований выражений со степенями. Корень пятой степени из выражения легко показать в варианте простой записи, что можно потом пронаблюдать в видео. В тексте корень пятой степени будем показывать, как (...)^1/5.
(5/2)^(2/5)
По сути это корень пятой степени из (5/2)^2
√∛(5/2)^2.
По сути это корень пятой степени из (5/2)^2
√∛(5/2)^2.
В числителе дроби 2/5 находится вторая степень, поэтому возводим в квадрат дробь 5/2, получим:
[(5/2)^2]^1/5 = (25/4)^1/5 = [25^1/5]/4^1/5.
В результате преобразования в знаменателе получили выражение 4^1/5. Для преобразования знаменатель умножим числитель и знаменатель на одно и тоже выражение: 4^(4/5), чтобы получить в знаменателе следующее.
4^(1/5) * 4^(4/5) = 4^(1/5 + 4/5) = 4^*5/5) = 4&1 = 4.
Таким образом мы избавляемся от радикала в знаменателе.
В итоге получим выражение:
[25^1/5]/4^(1/5) = [25^1/5 * 4^(4/5)]/4^(1/5) * 4^(1/5) = [25^1/5 * 4^(4/5)/4 = 25^1/5 * 4^(4/5 - 5/5) = 25^1/5 * 4^(-1/5) .
Вот здесь нужно показать отдельно, что 4^(-1/5) = (2^2)^(-1/5) = 2^(-2/5).
25^1/5 * 2^(-2/5) * (2/2) = [25^1/5 * 2^(-2/5) * 2^(5/5)]/2 = [25^1/5 * 2^(3/5)]/2 = 25^1/5 * (2^3^1/5)/2 = (25^1/5 * 8^1/5)/2 = [(25 * 8)^1/5]/2 = (200^1/5]/2.
Ответ: (200^1/5]/2.
Скрин с видео.
Ещё более подробно решение рассмотрено в видео.
Видео.
Подпишитесь на канал, Тесты_математика!
чтобы не пропустить новые публикации!
#задачи на логику, #головоломки, #математика, #тест