Суммирования в GL4

Что такое GL4?

Gayane Quaternary Logic (GL4) — это четырёхзначная логическая система, разработанная специально для работы с четырьмя состояниями. В отличие от классической двоичной логики, которая оперирует только двумя значениями (0 и 1), GL4 использует четыре значения, называемые квадритами:

• B = 0
• C = 1
• D = 2
• E = 3

Эти значения являются базовыми единицами в GL4, и они не сводятся к комбинациям битов или другим двоичным представлениям внутри самой системы. GL4 имеет свои собственные операторы, называемые Еваг функциями, которые определяют, как эти квадриты взаимодействуют друг с другом. Всего в GL4 существует 256 унарных операторов (функций с одним входом), а бинарных операторов (с двумя входами) гораздо больше, и их количество не упоминается в явном виде, чтобы не усложнять объяснение.

GL4 создана для реализации вычислений в системах, где базовая единица — это не бит, а квадрит, что делает её идеальной основой для четверичных компьютеров.

GL4 и четверичные компьютеры

Четверичный компьютер — это вычислительная система, которая использует четырёхзначную систему счисления вместо привычной двоичной. В такой системе каждая "цифра" (квадрит) может принимать одно из четырёх значений: B, C, D или E. Это позволяет представлять больше информации в каждом разряде по сравнению с двоичной системой, где разряд ограничен двумя состояниями.

Наша задача — построить вентили (логические элементы) для сложения двух одноквадритных чисел в таком компьютере. Вентили в GL4 реализуются через Еваг функции, которые определяют выходные значения на основе входных квадритов. Эти вентили нужны для выполнения арифметических операций, таких как сложение, и они будут специфичны для четырёхзначной природы GL4.

Четверичная система счисления и её реализация в GL4

В четверичной системе счисления основание равно 4, а числа представляются с использованием четырёх символов: B, C, D, E. Давайте разберём, как это работает:

Представление чисел

• Числа от 0 до 3 записываются одним квадритом:
  0 = B
  1 = C
  2 = D
  3 = E
• Числа больше 3 записываются комбинацией двух или более квадритов. Например:
  4 = CB (C в левом разряде = 1×4¹, B в правом = 0×4⁰, итого 4)
  5 = CC (1×4 + 1 = 5)
  6 = CD (1×4 + 2 = 6)
  7 = CE (1×4 + 3 = 7)
  8 = DB (2×4 + 0 = 8)
  9 = DC (2×4 + 1 = 9)
  10 = DD (2×4 + 2 = 10)
  11 = DE (2×4 + 3 = 11)

Каждый квадрит в позиции соответствует степени основания 4. Например, число CD:

• C = 1 в позиции 4¹ = 4
• D = 2 в позиции 4⁰ = 2
• Итог: 4 + 2 = 6

Сложение в GL4

При сложении двух одноквадритных чисел (например, E + E = 3 + 3 = 6) результат может превысить 3 и потребовать два квадрита для представления: правый разряд (значение от B до E) и левый разряд (перенос, который может быть только B или C, так как максимальная сумма двух квадритов — 6, или CD в GL4).

Построение вентилей для сложения

Теперь построим вентили для сложения двух одноквадритных чисел (x и y), где x и y могут быть B, C, D или E. Результат сложения будет состоять из двух квадритов:

• Правый разряд: значение от B до E (0–3).
• Перенос (левый разряд): B (0) или C (1), так как максимальный перенос при 3 + 3 = 6 равен 1 в четверичной системе.

Все комбинации сложения

Рассмотрим все 16 возможных комбинаций x и y (порядок BB, BC, BD, BE, CB, CC, CD, CE, DB, DC, DD, DE, EB, EC, ED, EE):

1. B + B = 0 + 0 = 0 → правый разряд B, перенос B
2. B + C = 0 + 1 = 1 → правый разряд C, перенос B
3. B + D = 0 + 2 = 2 → правый разряд D, перенос B
4. B + E = 0 + 3 = 3 → правый разряд E, перенос B
5. C + B = 1 + 0 = 1 → правый разряд C, перенос B
6. C + C = 1 + 1 = 2 → правый разряд D, перенос B
7. C + D = 1 + 2 = 3 → правый разряд E, перенос B
8. C + E = 1 + 3 = 4 → правый разряд B, перенос C (4 = CB)
9. D + B = 2 + 0 = 2 → правый разряд D, перенос B
10. D + C = 2 + 1 = 3 → правый разряд E, перенос B
11. D + D = 2 + 2 = 4 → правый разряд B, перенос C
12. D + E = 2 + 3 = 5 → правый разряд C, перенос C (5 = CC)
13. E + B = 3 + 0 = 3 → правый разряд E, перенос B
14. E + C = 3 + 1 = 4 → правый разряд B, перенос C
15. E + D = 3 + 2 = 5 → правый разряд C, перенос C
16. E + E = 3 + 3 = 6 → правый разряд D, перенос C (6 = CD)

Функция правого разряда

На основе списка выше, значения правого разряда для каждой комбинации:

• BB → B
• BC → C
• BD → D
• BE → E
• CB → C
• CC → D
• CD → E
• CE → B
• DB → D
• DC → E
• DD → B
• DE → C
• EB → E
• EC → B
• ED → C
• EE → D

Эту функцию записываем как Еваг функцию GL4 в виде строки, где каждый символ соответствует выходу для пары (x, y):
BCDECDEBDEBCEBCD(x,y)

Функция переноса

Значения переноса для тех же комбинаций:

• BB → B
• BC → B
• BD → B
• BE → B
• CB → B
• CC → B
• CD → B
• CE → C
• DB → B
• DC → B
• DD → C
• DE → C
• EB → B
• EC → C
• ED → C
• EE → C

Еваг функция для переноса:
BBBBBBBCBBCCBCCC(x,y)

Итоговые вентили для четверичного компьютера

Для сложения двух одноквадритных чисел в четверичном компьютере мы используем два вентиля, реализованных как Еваг функции GL4:

1. Правый разряд: "BCDECDEBDEBCEBCD"
   Определяет значение правого квадрита результата сложения.
2. Перенос: "BBBBBBBCBBCCBCCC"
   Определяет значение левого квадрита (переноса).

Эти функции полностью соответствуют принципам GL4 и могут быть использованы как базовые логические элементы для арифметических операций в четверичных компьютерах. Они не зависят от классических логических операторов и учитывают только четырёхзначную природу системы.

Gayane Logic

Martirosyan Hovhannes