В этой статье я разберу задания из реально проводимого устного собеседования при поступлении в 7 класс школы 57. Задания мне любезно предоставил один из моих учеников, которых я готовил к поступлению в эту школу. Хочу отметить, что ученик успешно справился с вступительными испытаниям, поступил в школу 57 и добился значительных результатов при обучении в ней.
Задача 1. Докажите, что не существует двух натуральных чисел, сумма которых делится на 20, а разность квадратов равна 2020.
Решение. Предположим, что такие натуральные числа (a и b, причём a>b) существуют. Тогда a+b = 20 и a^2-b^2 = (a-b)(a+b) = 20(a-b) = 2020, то есть a-b = 101. Сложим почленно уравнение a+b = 20 с уравнением a-b = 101 и получим, что 2a = 121, откуда a = 60.5, то есть число a не является натуральным. Противоречие.
Задача 2. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D такая, что BD = BC и AD = DC. Найдите ∠BAC, если известно, что он на 20° меньше ∠ABC.
Решение. Пусть ∠ABC = α, тогда ∠BAC= α - 20°. Так как △ADC равнобедренный, то ∠ACD= α - 20°. Так как △DBC равнобедренный и сумма углов в любом треугольнике равна 180°, то ∠BDC = ∠BCD = 90° - α/2. Теперь мы выразили все углы △ABC через α, поэтому имеет место уравнение: α + α - 20° + α - 20° + 90° - α/2 = 180°, откуда α = 52°. Значит, ∠BAC = α - 20° = 32°.
Ответ: 32°.
Задача 3. Пусть p - простое число, большее 5. а) Докажите, что квадрат p заканчивается на 1 или 9. б) Найдите p, если квадрат p - четырёхзначное число с цифрами xyzt (идущими в указанном порядке), x+t = y и z = 2y.
Решение. а) Простое число, большее 5, не может оканчиваться чётной цифрой, иначе оно делилось бы на 2. Простое число, большее 5, также не может оканчиваться на 5, иначе оно делилось бы на 5. Значит, в конце простого числа, большего 5, может стоять одна из чисел: 1, 3, 7 или 9. Так как 1^1 = 1, 3^2 = 9, 7^2 = 49 и 9^2 = 81, то в конце квадрата простого числа, большего 5, может находиться только цифра 1 или цифра 9. Что и требовалось доказать.
б) Пусть t = 9, тогда x = y-t = y-9, но y - максимум 9, поэтому x = 0, что невозможно, так как на первом месте в числе не может находиться цифра 0. Пусть t = 1, тогда x = y-1, z = 2y. Переберём возможные значения y. Если y = 2, то x = 1, z = 4, получили число 1241, но оно не является квадратом. Если y = 3, то x = 2, z = 6, получаем число 2361, которое также не является квадратом. Если y = 4, то x = 3, z = 8, получаем число 3481 = 59^2. Так как 59 - простое число, то это единственный подходящий вариант. Дальше увеличивать y мы не можем, так как z уже будет больше 9.
Ответ: 59.
Задача 4. В клетки квадрата 3×3 записаны числа от 1 до 9. Докажите, что из этого квадрата можно вырезать квадрат 2×2, сумма чисел в котором не меньше 16.
Решение. Предположим, что это не так. Значит, в любом квадрате 2×2 сумма чисел меньше 16. Посчитаем максимально возможную сумму всех чисел в клетках квадрата 3×3 при таком условии. Из квадрата 3×3 можно вырезать четыре квадрата 2×2, в каждом из них при нашем предположении сумма чисел максимум 15. Просуммируем все этим суммы и получим максимум 4×5 = 60. При этом число в центре квадрата 3×3 мы посчитали 4 раза, то есть три лишних раза, а числа слева, справа, сверху и снизу от центрального - 2 раза, то есть один лишний раз. Значит, из числа 60 нужно вычесть трижды число, находящееся в центре квадрата 3×3 и по одному разу числа слева, справа, сверху и снизу от центрального. Поскольку мы делаем оценку максимального значения суммы всех чисел, то в центре нужно взять 1, а слева, справа, сверху и снизу от центра - числа 2, 3, 4 и 5. В итоге получаем, что сумма всех чисел в квадрате 3×3 не превышает 60 - 3×1 - 2 - 3 - 4 - 5 = 43. Но сумма чисел от 1 до 9 равна 45. Противоречие. Значит, из этого квадрата можно вырезать квадрат 2×2, сумма чисел в котором не меньше 16. Что и требовалось доказать.
Задача 5. 12 школьников поют в хоре. Двое из них не попадают в ноты, и дирижёр хочет узнать, кто именно. Он может выбрать любых 4-х школьников и послушать, все ли из них попадают в ноты. Как ему узнать, кто не попадает в ноты, за семь таких прослушиваний?
Решение. Нужно разбить на три группы по 4 школьника, прослушать всех - это 3 прослушивания. Если фальшивят только в одной группе, то берём троих из группы, где не фальшивят и добавляем по одному из группы, в которой фальшивят. За оставшиеся 4 прослушивания устанавливаем двоих, кто фальшивит. Если фальшивят в двух подгруппах, то берём двух из группы, в которой не фальшивят, и добавляем к ним двоих из группы, в которой фальшивят. Если составленная четвёрка фальшивит, то в неё добавлена пара школьников, среди которых есть ровно один фальшивящий. Если нет, то пара школьников, среди которых ровно один фальшивит, - это оставшаяся пара в установленной фальшивящей группе. Таким образом устанавливаем пару школьников, среди которых ровно один фальшивит. Далее берём троих, которые не фальшивят из нефальшивящей группы, добавляем к ним одного из найденной пары и определяем, фальшивит ли составленная четвёрка. Если да, то фальшивит школьник, добавленный из фальшивящей пары. Если нет, то фальшивит второй школьник из установленной фальшивящей пары. Таким образом, за 2 дополнительных прослушивания определяем одного фальшивящего в первой фальшивящей группе. Те же действия повторяем со второй фальшивящей группой. В результате находим двоих фальшивящих за 7 прослушиваний.
Задача 6. В скольких четырёхзначных числах, делящихся на 9, встречается цифра 0?
Решение. Минимальное четырёхзначное число, которое делится на 9, это 1008. Максимальное четырёхзначное число, которое делится на 9, это 9999. Значит, всего четырёхзначных чисел, которые делятся на 9, ровно (9999 - 1008)/9 + 1 = 1000. Посчитаем количество четырёхзначных чисел, которые делятся на 9 и в записи которых нет нуля. На первое место может быть поставлена любая цифра, кроме нуля, на второе - любая, кроме нуля, на третье - любая, кроме нуля, а последняя цифра определяется однозначно предыдущими тремя, так как если натуральное число делится на 9, то сумма всех его цифр по признаку делимости на 9 должна делиться на 9. И у нас нет возможности поставить нуль. То есть всего четырёхзначных чисел, которые делятся на 9 и в записи которых нет нуля, ровно 9*9*9 = 729. Значит, четырёхзначных чисел, делящихся на 9, в которых встречается цифра 0, ровно 1000 - 729 = 271.
Ответ: 271.