{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"header-two","key":"iqm1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Что такое машинный эпсилон?","type":"header-two","key":"40buj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":79,"offset":130,"style":"BOLD"},{"length":8,"offset":311,"style":"BOLD"}],"text":"Машинный эпсилон — это не «минимальное различимое число», как часто ошибочно полагают. Корректное определение машинного эпсилона: разница между числом 1 и наименьшим числом с плавающей точкой, которое больше 1. В Python для чисел с плавающей точкой двойной точности (тип float) это значение составляет примерно 2.22e-16.","type":"unstyled","key":"dsfcr"},{"data":{"image":{"id":"67c7463e7ef6b012bc445ce3"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"gu27"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":12,"offset":79,"style":"BOLD"}],"text":"Важно понимать, что плотность представления чисел в формате с плавающей точкой неравномерна. Близко к нулю можно представить числа с гораздо меньшей разницей, чем машинный эпсилон, а для очень больших чисел разница между соседними представимыми значениями может быть значительно больше единицы.","type":"unstyled","key":"c55lu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Как получить значение машинного эпсилона в Python?","type":"header-two","key":"1vd3m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Метод 1: Используя sys.float_info","type":"header-three","key":"4011t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"import sys\n\nepsilon = sys.float_info.epsilon\nprint(f\"Машинный эпсилон: {epsilon}\")\n# Вывод: Машинный эпсилон: 2.220446049250313e-16","type":"unstyled","key":"75voo"},{"data":{"image":{"id":"67c73e19f2d1f0055286ab83"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"9a4e4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В этом коде мы импортируем модуль sys и обращаемся к атрибуту float_info.epsilon, который содержит значение машинного эпсилона для типа float в Python.","type":"unstyled","key":"2n42c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Метод 2: Вычисление машинного эпсилона вручную","type":"header-three","key":"8sems"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Мы можем вычислить машинный эпсилон самостоятельно с помощью простого алгоритма:","type":"unstyled","key":"56vnm"},{"data":{"image":{"id":"67c73e68a125be21a95a58b8"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Выше написано правильное написание кода","type":"atomic:image","key":"a5q9t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Тот же код ниже для копирования и вставки в программу. Не забывайте про необходимый отступ пробелами в определённых местах в начале строки, так как код на сервере блога может отображаться некорректно.","type":"blockquote","key":"3u1et"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"def calculate_epsilon():","type":"unstyled","key":"em54o"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" eps = 1.0","type":"unstyled","key":"aibe2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" while eps + 1 > 1:","type":"unstyled","key":"45utb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" eps /= 2","type":"unstyled","key":"cjs04"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" eps *= 2","type":"unstyled","key":"6ffap"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" return eps","type":"unstyled","key":"b1bb2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"epsilon = calculate_epsilon()","type":"unstyled","key":"420pn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"Рассчитанный машинный эпсилон: {epsilon}\")","type":"unstyled","key":"4fclh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Вывод: Рассчитанный машинный эпсилон: 2.220446049250313e-16","type":"unstyled","key":"5jkda"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Разберем этот код пошагово:","type":"header-three","key":"3caaj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Начинаем с eps = 1.0","type":"ordered-list-item","key":"ar00"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В цикле делим eps на 2, пока выражение eps + 1 > 1 истинно","type":"ordered-list-item","key":"dt7g1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Когда eps становится настолько малым, что eps + 1 == 1, мы выходим из цикла","type":"ordered-list-item","key":"3rb9r"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Умножаем последнее значение eps на 2, чтобы получить машинный эпсилон","type":"ordered-list-item","key":"3sikj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Метод 3: Используя модуль math с Python 3.5+","type":"header-three","key":"3ij6m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"import math\n\nepsilon = math.ulp(1.0)\nprint(f\"Машинный эпсилон через math.ulp: {epsilon}\")\n# Вывод: Машинный эпсилон через math.ulp: 2.220446049250313e-16","type":"unstyled","key":"9r21b"},{"data":{"image":{"id":"67c73f5501dcb46155df1ce1"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"f8093"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Здесь мы используем функцию math.ulp() (Unit in the Last Place), которая возвращает значение одной единицы в последнем разряде для заданного числа.","type":"unstyled","key":"5303p"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Практическое применение машинного эпсилона","type":"header-three","key":"f8ova"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример 1: Демонстрация ограничений точности","type":"header-two","key":"btihb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"import sys\n\nepsilon = sys.float_info.epsilon\n\nprint(f\"Машинный эпсилон: {epsilon}\")\nprint(f\"1.0 + epsilon = {1.0 + epsilon}\") # Больше 1 print(f\"1.0 + epsilon/2 = {1.0 + epsilon/2}\") # Равно 1","type":"unstyled","key":"2ikma"},{"data":{"image":{"id":"67c73f995897a03fa8af93f3"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"efjok"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Вывод:","type":"header-three","key":"aesm7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Машинный эпсилон: 2.220446049250313e-16\n1.0 + epsilon = 1.0000000000000002\n1.0 + epsilon/2 = 1.0","type":"unstyled","key":"8dh4v"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В этом примере мы видим классическую демонстрацию машинного эпсилона:","type":"unstyled","key":"7ski8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":107,"style":"BOLD"}],"text":"Когда мы добавляем epsilon к 1.0, результат отличается от 1.0. Мы видим на конце числа 2 (1.0000000000000002). ","type":"unordered-list-item","key":"484eu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Когда мы добавляем epsilon/2 к 1.0, разница настолько мала, что результат округляется до 1.0","type":"unordered-list-item","key":"1jdvc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример 2: Сравнение чисел с плавающей точкой","type":"header-three","key":"1uq5c"},{"data":{"image":{"id":"67c740be91f92b7207323a1e"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Выше написано правильное написание кода. Только вместо \"\"\"Сравнивает два числа с плавающей точкой с относительной погрешностью.\"\"\" ставьте знак # впереди текста.","type":"atomic:image","key":"7r0gb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Тот же код ниже для копирования и вставки в программу. Не забывайте про необходимый отступ пробелами в определённых местах в начале строки, так как код на сервере блога может отображаться некорректно.","type":"blockquote","key":"6enoh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"import sys","type":"unstyled","key":"mjpr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"def calculate_epsilon():","type":"unstyled","key":"6pt9s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" eps = 1.0","type":"unstyled","key":"diohr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" while eps + 1 > 1:","type":"unstyled","key":"7lkmv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" eps /= 2","type":"unstyled","key":"bcpim"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" eps *= 2","type":"unstyled","key":"b0s1k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" return eps","type":"unstyled","key":"4fg52"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"def is_close(a, b, rel_tol=sys.float_info.epsilon * 10):","type":"unstyled","key":"59sad"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"#Сравнивает два числа с плавающей точкой с относительной погрешностью.","type":"unstyled","key":"3tnbu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" abs_diff = abs(a - b)","type":"unstyled","key":"66bsg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" max_magnitude = max(abs(a), abs(b))","type":"unstyled","key":"9d8m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" if max_magnitude < sys.float_info.epsilon:","type":"unstyled","key":"26agc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" # Для очень маленьких чисел используем абсолютную погрешность","type":"unstyled","key":"7lvoo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" return abs_diff < sys.float_info.epsilon","type":"unstyled","key":"106c2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" return abs_diff / max_magnitude < rel_tol","type":"unstyled","key":"a9tf3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Получение машинного эпсилона тремя способами","type":"unstyled","key":"7r755"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"epsilon_sys = sys.float_info.epsilon","type":"unstyled","key":"78jg5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"epsilon_calculated = calculate_epsilon()","type":"unstyled","key":"42n2q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"import math","type":"unstyled","key":"dh5qb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"epsilon_math = math.ulp(1.0)","type":"unstyled","key":"cihf2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"Машинный эпсилон (sys): {epsilon_sys}\")","type":"unstyled","key":"12hs4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"Рассчитанный машинный эпсилон: {epsilon_calculated}\")","type":"unstyled","key":"2l3o9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"Машинный эпсилон через math.ulp: {epsilon_math}\")","type":"unstyled","key":"8n9ol"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Демонстрация","type":"unstyled","key":"9lh34"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"1.0 + epsilon = {1.0 + epsilon_sys}\") # Больше 1","type":"unstyled","key":"87o"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"1.0 + epsilon/2 = {1.0 + epsilon_sys/2}\") # Равно 1","type":"unstyled","key":"9v0pe"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Тестирование функции is_close","type":"unstyled","key":"1m67l"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(\"Сравнение 0.1 + 0.2 и 0.3:\", is_close(0.1 + 0.2, 0.3))","type":"unstyled","key":"9mku6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(\"Сравнение 1.0 и 1.0 + epsilon/2:\", is_close(1.0, 1.0 + epsilon_sys/2))","type":"unstyled","key":"1g3nl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(\"Сравнение 1.0 и 1.0 + epsilon*5:\", is_close(1.0, 1.0 + epsilon_sys*5))","type":"unstyled","key":"ctfqs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Демонстрация ошибок округления","type":"unstyled","key":"670ph"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(\"0.1 + 0.2 =\", 0.1 + 0.2)","type":"unstyled","key":"21b8t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(\"Разница между (0.1 + 0.2) и 0.3 меньше epsilon?\", abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < epsilon_sys)","type":"unstyled","key":"4npo0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(\"Разница между (0.1 + 0.2) и 0.3 меньше 1e-15?\", abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < 1e-15)","type":"unstyled","key":"5d1sc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Демонстрация потери точности при операциях с большими числами","type":"unstyled","key":"dp239"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"large_num = 1e16","type":"unstyled","key":"a83cg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"small_increment = 1.0","type":"unstyled","key":"cr761"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"{large_num} + {small_increment} - {large_num} =\", large_num + small_increment - large_num)","type":"unstyled","key":"1q9q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Машинный эпсилон и машинный ноль","type":"unstyled","key":"9ob78"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"Машинный эпсилон: {sys.float_info.epsilon}\")","type":"unstyled","key":"cflu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"print(f\"Минимальное положительное число: {sys.float_info.min}\")","type":"unstyled","key":"8enuu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В этом примере мы создаем функцию для сравнения чисел с плавающей точкой с учетом относительной погрешности. ","type":"unstyled","key":"bo83b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Результат работы кода:","type":"header-three","key":"85k4c"},{"data":{"image":{"id":"67c742f5a7eb975f4cc4cfec"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"douko"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Описание кода:","type":"header-three","key":"bufp4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"import sys\n• Импорт модуля sys для доступа к атрибутам, связанным с типом float (например, sys.float_info).","type":"unstyled","key":"4fd7r"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":24,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"def calculate_epsilon():\n• Объявление функции для вычисления машинного эпсилона вручную.","type":"unstyled","key":"9offo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":9,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"eps = 1.0\n• Инициализация переменной eps значением 1.0.","type":"unstyled","key":"dcg4d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":18,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"while eps + 1 > 1:\n• Запуск цикла, который продолжает делить eps, пока прибавление его к 1 дает значение, отличное от 1.","type":"unstyled","key":"57co8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":8,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"eps /= 2\n• Деление eps на 2 для уменьшения шага, пока eps не станет слишком малым для изменения суммы с 1.","type":"unstyled","key":"e059g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":8,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"eps *= 2\n• После цикла возвращаемся к последнему значению eps, которое проделывало изменение суммы 1 + eps, корректно умножив его на 2.","type":"unstyled","key":"etodc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"return eps\n• Возвращаем полученное значение машинного эпсилона.","type":"unstyled","key":"6b9ao"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":56,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":8,"offset":168,"style":"BOLD"},{"length":22,"offset":224,"style":"BOLD"}],"text":"def is_close(a, b, rel_tol=sys.float_info.epsilon * 10):\n• Объявление функции, сравнивающей два числа с плавающей точкой с учетом относительной погрешности.\n• Аргумент rel_tol по умолчанию установлен как 10-кратное значение sys.float_info.epsilon.","type":"unstyled","key":"2jqv1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":21,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"abs_diff = abs(a - b)\n• Вычисление абсолютной разницы между a и b.","type":"unstyled","key":"e8l6v"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":35,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"max_magnitude = max(abs(a), abs(b))\n• Определение максимальной абсолютной величины из a и b для расчета относительной разницы.","type":"unstyled","key":"aptf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":42,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"if max_magnitude < sys.float_info.epsilon:\n• Проверка: если оба числа слишком малы (почти равны нулю), используем абсолютное сравнение.","type":"unstyled","key":"din2k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":40,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"return abs_diff < sys.float_info.epsilon\n• Возвращаем True, если абсолютная разница меньше машинного эпсилона (для очень маленьких чисел).","type":"unstyled","key":"8bqce"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":41,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"return abs_diff / max_magnitude < rel_tol\n• Для остальных чисел возвращаем результат проверки: относительная разница меньше заданного порога rel_tol.","type":"unstyled","key":"5pj54"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":46,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"# Получение машинного эпсилона тремя способами\n• Комментарий, поясняющий цель следующего кода – получение машинного эпсилона разными методами.","type":"unstyled","key":"bkcmk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":36,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"epsilon_sys = sys.float_info.epsilon\n• Прямое получение машинного эпсилона через атрибут модуля sys.","type":"unstyled","key":"aumpu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":40,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"epsilon_calculated = calculate_epsilon()\n• Вычисление машинного эпсилона с использованием ранее определенной функции calculate_epsilon().","type":"unstyled","key":"2musq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":11,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"import math\n• Импорт модуля math для использования дополнительных математических функций.","type":"unstyled","key":"3gntf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":28,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"epsilon_math = math.ulp(1.0)\n• Получение машинного эпсилона через функцию math.ulp(), которая возвращает наименьшую разницу между 1.0 и следующим представимым числом.","type":"unstyled","key":"2u5qs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":47,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"Машинный эпсилон (sys): {epsilon_sys}\")\n• Вывод значения машинного эпсилона, полученного через sys.float_info.epsilon.","type":"unstyled","key":"db82h"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":61,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"Рассчитанный машинный эпсилон: {epsilon_calculated}\")\n• Вывод вычисленного с помощью функции calculate_epsilon машинного эпсилона.","type":"unstyled","key":"250kn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":57,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"Машинный эпсилон через math.ulp: {epsilon_math}\")\n• Вывод машинного эпсилона, полученного функцией math.ulp.","type":"unstyled","key":"dcpea"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":14,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"# Демонстрация\n• Комментарий, помогающий понять, что ниже идет демонстрация работы с машинным эпсилоном.","type":"unstyled","key":"73ah3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":45,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"1.0 + epsilon = {1.0 + epsilon_sys}\")\n• Вывод результата суммы 1.0 и машинного эпсилона; результат будет чуть больше 1.","type":"unstyled","key":"153l1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":49,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"1.0 + epsilon/2 = {1.0 + epsilon_sys/2}\")\n• Вывод результата суммы 1.0 и половины машинного эпсилона; результат останется равным 1 из-за ограничений точности.","type":"unstyled","key":"e26i5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":31,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"# Тестирование функции is_close\n• Комментарий для раздела тестирования функции сравнения чисел с плавающей точкой.","type":"unstyled","key":"6d1qv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":61,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(\"Сравнение 0.1 + 0.2 и 0.3:\", is_close(0.1 + 0.2, 0.3))\n• Тестирование функции is_close, сравнивая арифметическую сумму 0.1 + 0.2 с 0.3 (известное явление округления).","type":"unstyled","key":"82mpo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":77,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(\"Сравнение 1.0 и 1.0 + epsilon/2:\", is_close(1.0, 1.0 + epsilon_sys/2))\n• Тест функции is_close для проверки незначительного изменения числа (1.0 и 1.0 + половина машинного эпсилона).","type":"unstyled","key":"8o1ba"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":77,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(\"Сравнение 1.0 и 1.0 + epsilon*5:\", is_close(1.0, 1.0 + epsilon_sys*5))\n• Тест функции is_close для проверки чисел с более заметной разницей (1.0 и 1.0 + 5-кратный машинный эпсилон).","type":"unstyled","key":"apibj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":32,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"# Демонстрация ошибок округления\n• Комментарий, вводящий демонстрацию типичных ошибок округления в арифметике с плавающей точкой.","type":"unstyled","key":"5hl48"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":31,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(\"0.1 + 0.2 =\", 0.1 + 0.2)\n• Вывод результата суммы 0.1 и 0.2, демонстрирующий проблему точности (неполное равенство 0.3).","type":"unstyled","key":"crr4s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":94,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(\"Разница между (0.1 + 0.2) и 0.3 меньше epsilon?\", abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < epsilon_sys)\n• Вывод проверки, меньше ли разница между (0.1 + 0.2) и 0.3, чем машинный эпсилон.","type":"unstyled","key":"aor8q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":86,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(\"Разница между (0.1 + 0.2) и 0.3 меньше 1e-15?\", abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < 1e-15)\n• Вывод альтернативной проверки разницы с фиксированным порогом 1e-15 для сравнения.","type":"unstyled","key":"23rfm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":63,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"# Демонстрация потери точности при операциях с большими числами\n• Комментарий, поясняющий следующий блок кода, демонстрирующий потерю точности при операциях с разными порядками чисел.","type":"unstyled","key":"ai46u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":16,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"large_num = 1e16\n• Инициализация переменной large_num значением 1e16 (очень большое число).","type":"unstyled","key":"8ufh4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":21,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"small_increment = 1.0\n• Инициализация переменной small_increment значением 1.0 (маленькое приращение).","type":"unstyled","key":"ep28d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":98,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"{large_num} + {small_increment} - {large_num} =\", large_num + small_increment - large_num)\n• Вычисление и вывод разницы между (large_num + small_increment) и large_num, что демонстрирует потерю точности (ожидаемо должно получаться 1, но выводится 0).","type":"unstyled","key":"f3msb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":34,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"# Машинный эпсилон и машинный ноль\n• Комментарий, поясняющий, что далее сравниваются два критичных значения: машинный эпсилон и минимальное положительное число.","type":"unstyled","key":"fae47"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":52,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"Машинный эпсилон: {sys.float_info.epsilon}\")\n• Вывод значения машинного эпсилона, полученного через sys.float_info.","type":"unstyled","key":"6govc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":63,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"print(f\"Минимальное положительное число: {sys.float_info.min}\")\n• Вывод минимального положительного числа, которое может быть представлено в Python (машинный ноль).","type":"unstyled","key":"8tgeq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":15,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Краткое резюме:\nКод демонстрирует вычисление машинного эпсилона различными методами, определение функции для корректного сравнения чисел с плавающей точкой и показывает практические примеры ошибок округления и потери точности в вычислениях.","type":"unstyled","key":"ek160"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Еще раз итоговый результат работы кода:","type":"header-three","key":"du74o"},{"data":{"image":{"id":"67c7458cc34c123808460230"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"ajca0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"fvnvt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример 3: Ошибки округления и машинный эпсилон","type":"header-three","key":"dpoav"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"# Демонстрация ошибок округления print(0.1 + 0.2) # Результат не точно 0.3 print(abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < sys.float_info.epsilon) # False print(abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < 1e-15) # True \n# Демонстрация потери точности при операциях с большими числами large_num = 1e16 small_increment = 1.0 print(large_num + small_increment - large_num) # 0.0 вместо 1.0","type":"unstyled","key":"eor5m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Этот пример показывает два важных момента:","type":"unstyled","key":"8ik4f"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Классическая проблема 0.1 + 0.2 != 0.3 в арифметике с плавающей точкой","type":"ordered-list-item","key":"1nk4v"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Потеря точности при операциях с числами разных порядков величины","type":"ordered-list-item","key":"4a7bh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Неравномерность распределения чисел с плавающей точкой","type":"header-two","key":"9o8av"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":59,"offset":20,"style":"BOLD"}],"text":"Важно понимать, что плотность чисел, представимых в формате float, не постоянна. Расстояние между соседними числами с плавающей точкой зависит от их величины:","type":"unstyled","key":"5ut7r"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В окрестности нуля разница между соседними числами может быть меньше машинного эпсилона","type":"unordered-list-item","key":"c379g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для очень больших значений разница между соседними числами может быть больше 1.","type":"unordered-list-item","key":"5n0lt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Это объясняет, почему мы можем работать с числами меньше машинного эпсилона, но точность вычислений будет зависеть от диапазона чисел.","type":"unstyled","key":"bkd3u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Машинный эпсилон и машинный ноль","type":"header-two","key":"fg69k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":15,"offset":35,"style":"BOLD"}],"text":"Машинный эпсилон и машинный ноль — это не синонимы. Машинный ноль (или минимальное положительное число с плавающей точкой) в Python можно получить через sys.float_info.min.","type":"unstyled","key":"3dej2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"import sys\n\nprint(f\"Машинный эпсилон: {sys.float_info.epsilon}\")\nprint(f\"Минимальное положительное число: {sys.float_info.min}\")","type":"unstyled","key":"b9d8i"},{"data":{"image":{"id":"67c745f9c7312a63fccd3185"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"fccr4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Заключение","type":"header-three","key":"7su2b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Машинный эпсилон — фундаментальное понятие в вычислительной математике и программировании. Понимание его сути помогает:","type":"unstyled","key":"2feo2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Корректно сравнивать числа с плавающей точкой","type":"ordered-list-item","key":"fcree"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Оценивать точность вычислений","type":"ordered-list-item","key":"3cehh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Избегать ошибок, связанных с ограниченной точностью представления чисел","type":"ordered-list-item","key":"9pcmm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"При работе с числами с плавающей точкой в Python всегда помните о их неточной природе и используйте подходящие методы сравнения с учетом допустимой погрешности.","type":"unstyled","key":"6p9ph"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для большинства практических задач рекомендуется использовать встроенную функцию math.isclose() или модуль numpy.isclose() для сравнения чисел с плавающей точкой, а не проверять непосредственное равенство с помощью оператора ==.","type":"unstyled","key":"aocjq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ПОЛЕЗНЫЕ РЕСУРСЫ:","type":"header-three","key":"6op2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"---------------------------------------------------","type":"unstyled","key":"ftqq8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сообщество дизайнеров в VK","type":"unstyled","key":"fmmhr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":0,"length":30,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://vk.com/grafantonkozlov\n\nТелеграмм канал сообщества","type":"unstyled","key":"q3po"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":1,"length":28,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://t.me/grafantonkozlov\n\nАрхив эксклюзивного контента","type":"unstyled","key":"2h38d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":2,"length":26,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://boosty.to/antonkzv\n\nКанал на Дзен","type":"unstyled","key":"bthl3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":3,"length":31,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://dzen.ru/grafantonkozlov\n\n---------------------------------------------------","type":"unstyled","key":"bdr70"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Бесплатный Хостинг и доменное имя","type":"unstyled","key":"8hgi9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":4,"length":27,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://tilda.cc/?r=4159746\n\nМощная и надежная нейронная сеть Gerwin AI","type":"unstyled","key":"eq8p9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":5,"length":51,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://t.me/GerwinPromoBot?start=referrer_3CKSERJX\n\nGPTs — плагины и ассистенты для ChatGPT на русском языке","type":"unstyled","key":"84vnt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":6,"length":30,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[],"text":"https://gptunnel.ru/?ref=Anton\n\n---------------------------------------------------","type":"unstyled","key":"92cpl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"RIfApnR4y75v5zJHFpfE"}],"entityMap":{"0":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Fvk.com%2Fgrafantonkozlov","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Fvk.com%2Fgrafantonkozlov"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"1":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ft.me%2Fgrafantonkozlov","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ft.me%2Fgrafantonkozlov"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"2":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Fboosty.to%2Fantonkzv","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Fboosty.to%2Fantonkzv"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"3":{"data":{"href":"https://dzen.ru/grafantonkozlov","url":"https://dzen.ru/grafantonkozlov"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"4":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ftilda.cc%2F%3Fr%3D4159746","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ftilda.cc%2F%3Fr%3D4159746"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"5":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ft.me%2FGerwinPromoBot%3Fstart%3Dreferrer_3CKSERJX","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ft.me%2FGerwinPromoBot%3Fstart%3Dreferrer_3CKSERJX"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"6":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Fgptunnel.ru%2F%3Fref%3DAnton","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Fgptunnel.ru%2F%3Fref%3DAnton"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"}}},"mentions":[]}