- В чём смысл дифференциальных уравнений?
- Смысл математического анализа, вообще, и дифференциальных уравнений, в частности, заключается в установлении взаимосвязи ГЛОБАЛЬНОГО и ЛОКАЛЬНОГО, подлежащих пространств, и пространств касательных, МАТЕРИИ и ВЕЩЕСТВА, МЕРНОСТИ и РАЗМЕРНОСТИ, Актуальной (счётной) Бесконечности и Бесконечности Потенциальной (не счётной), логики ИСКЛЮЧЁННОГО ТРЕТЬЕГО и логики ВКЛЮЧЁННОГО ТРЕТЬЕГО.
Вот вам живой пример. На военной кафедре одного из физ-мат. ВУЗов, в ходе лекции по устройству атома, студенты спросили товарища майора,- "Что находится между ядром атома и электроном?". Товарищ майор бодро отрапортовал,- "Воздух!".
Весь гротеск ситуации состоит в том, что в атоме нет понятия "МЕЖДУ", в связи с чем, там нет РАССТОЯНИЙ и ВРЕМЁН. А как же тогда высчитывают ядро, и бегающие вокруг него электроны? По соглашению (на основе консенсуса). Атом - это энергетическая сущность. И, ввиду того, что там нет расстояний, пришли к соглашению, считать границей ядра область, где энергетический потенциал атома изменяется ровно в два раза. Это ДОГОВОРНЯК - попытка найти "среднюю температуру по больнице" между двумя не смешиваемыми мирами.
Наш мир АДДИТИВЕН (счётен), ибо в основе нашего вещественного мира лежит счётная Актуальная Бесконечность. Мир же МАТЕРИИ, он не счётен, ввиду того, что его подложкой служит Бесконечность Потенциальная (не счётная). Сварить "бульон", используя счётные и не счётные ингредиенты, НЕ ВОЗМОЖНО (эх, генька этого не знал со своим творческим "зудом" по созданию "Теории Всего"). Глобальное с локальным не смешивается. Но, есть метод...
...который и предложили авторы дифференциального и интегрального исчисления - Ньютон и Лейбниц. Касательными пространствами, мы "касаемся" ЛОКАЛЬНЫМ к ГЛОБАЛЬНОМУ. На короткий миг (который - "бесконечно малая") мы получаем возможность описать (зафиксировать) присутствие НЕ ПРИСУТСТВИЯ.
Вот эту задачу впиховывания НЕВПИХУЕМОГО, и выполняют дифференциальные уравнения. Они наполняют энергетическим смыслом, взятым с того мира, все наши расстояния и времена. Дифференциальные уравнения - это, пусть и на краткий миг, возможность "натянуть сову на глобус", стреножить "квадратного коня в вакууме", "скрестить ужа и ежа".
PS. Просто анализ занимается изучением поведения функций в рамках лишь нашего мира (нашего типа Актуальной Бесконечности). Математический анализ сопоставляет между собой два мира Актуальный и Потенциальный.
Всего Вам доброго.