Разбор пробного варианта олимпиады в Курчатовской школе, то есть фактически вступительного экзамена в эту школу, от 12 февраля 2025 года.
1. У паровозика 5 вагончиков: красный, зелёный, жёлтый, синий и голубой. Зелёный вагон ближе к паровозику, чем голубой, но дальше, чем красный. Жёлтый вагон не соседствует ни с красным, ни с зелёным. Синий не находится рядом ни с зелёным, ни с жёлтым. Определите цвет каждого вагона. Решение подробно объясни.
Решение. Паровозик находится в начале поезда, то есть прицеплен к 1-ому вагончику.
Голубой вагончик находится правее зелёного, а зелёный правее красного. Значит, голубой вагончик не может быть ни 1-ым, ни 2-ым. Он также не может быть 3-им, иначе 1-ый вагончик был бы красным, 2-ой зелёным, поэтому синий и жёлтый вагончики находились бы рядом в конце поезда, что противоречит условию.
Попробуем сделать голубой вагончик 5-ым. При этом:
- Красный вагончик не может быть 1-ым. Действительно, в противном случае, если 2-й вагончик зелёный, то жёлтый и синий вагончики находятся рядом, что невозможно по условию. То же самое противоречие возникает, если 4-й вагончик зелёный. Если же 3-й вагончик зелёный, то жёлтый вагончик при любой расстановке будет граничить с зелёным, что невозможно по условию.
- Красный вагончик также не может быть 2-ым, иначе синий вагончик может быть только 1-ым,поскольку он не может граничить с жёлтым, но тогда зелёный вагончик при любой расстановке будет граничить с жёлтым, что невозможно по условию.
- Красный вагончик также не может быть и 3-им, поскольку тогда 4-й вагончик зелёный и жёлтый вагончик будет граничить с синим, что также невозможно по условию.
Итак, голубой вагончик может быть только 4-ым. Но тогда жёлтый может быть только 5-ым, иначе он будет граничить с красным или с зелёным, что невозможно по условию. Чтобы синий не граничил с зелёным, вагончик синего цвета может быть только 1-ым. Значит, 2-й вагончик красный, а 3-й зелёный. Это единственно возможная подходящая раскраска.
Ответ: 1й - синий, 2-й - красный, 3-й - зелёный, 4-й - голубой, 5-й - жёлтый.
2. Отцу и сыну вместе 38 лет, сыну и дедушке вместе 64 года, а отцу и дедушке вместе 84 года. Сколько лет отцу, сыну и дедушке в отдельности? Объясните подробно решение.
Решение. Знаем, что О + С = 38; С + Д = 64; О + Д = 84. Сложим все три равенства и получим, что 2O + 2C + 2Д = 186 или О + С + Д = 93. Так как О + С = 38, то Д = 93 - 38 = 55. Так как С + Д = 64, то C = 64 - 55 = 9. Так как О + С = 38, то О = 38 - 9 = 29.
Ответ: отцу - 29, сыну - 9, дедушке - 55.
3. Прямоугольник состоит из четырёх прямоугольников разной площади. Голубой имеет площадь 19, жёлтый - 57, зелёный - 25, а красный - не известно. Какая площадь у красного прямоугольника? Решение подробно объясни.
Решение. Обозначим стороны прямоугольников буквами, как на рисунке:
Тогда произведение площадей жёлтого и зелёного прямоугольников равно 57*25 = 1424 = a*d*c*b. Пусть площадь красного прямоугольника равна S. Тогда произведение площадей голубого и красного прямоугольников равно 19*S = a*c*b*d = a*d*c*b = 1424. То есть 19*S = 1424 и S = 75.
Ответ: 75
4. У папы-жирафа пятнышек в пять раз больше, чем у сына-жирафа, а у сына на 24 пятнышка меньше, чем у мамы-жирафа. У мамы-жирафа на 4 пятнышка больше, чем у папы-жирафа. Сколько всего пятнышек у трёх жирафов? Решение подробно объясни.
Решение. Пусть у мамы x пятен, тогда у сына x-24 пятна, а у мамы 5(x-24) пятна. Так как у мамы на 4 пятна больше, чем у папы, то имеет место уравнение x-4 = 5(x-24) или x-4 = 5x-120, или 4x = 116, то есть x = 29. Значит, у мамы 29 пятен, у сына 29 - 24 = 5 пятен, у папы 5*(29-24) = 25 пятен. Всего у всех 29 + 5 + 25 = 59 пятен.
Ответ: 59
5. Возраст некоторых друзей составляет в сумме 62 года. Через три года он будет составлять 80 лет. Сколько всего друзей? Решение подробно объясни.
Решение. За три года сумма возрастов друзей увеличилась на 80 - 62 = 18 лет. То есть за каждый год сумма возрастов увеличивалась на 18 : 3 = 6 лет. Значит, всего было 6 друзей, так как возраст каждого за один год увеличивался ровно на год.
Ответ: 6
6. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, а число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше двух. Всего в доме 60 квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира 46? Решение подробно объясни.
Решение. Разложим 60 на три разных множителя так, чтобы минимальный множитель был больше 2. Это можно сделать единственным способом: 60 = 3*4*5. Значит, в доме 3 подъезда, 4 квартиры на этаже и 5 этажей. То есть в одном подъезде находится 5*4 = 20 квартир. В двух первых подъездах всего 40 квартир, поэтому квартира 46 находится в третьем подъезде. На первом этаже в 3-ем подъезде находится квартиры с номерами с 41 по 44, на втором - с 45 по 48. То есть квартира 46 находится на втором этаже.
Ответ: в третьем подъезде на втором этаже.
7. По дороге в одном направлении шли два человека со скоростью 6 километров в час, причём второй вышел на два часа позже первого. Первый нанял встреченного всадника отвезти второму письмо и привезти ответ. Всадник доставил письмо через полчаса, затем 40 минут ждал ответа (второй в это время писал письмо, а не шёл), а потом повёз его обратно. Сколько времени потребуется всаднику на доставку ответа? Решение подробно объясни.
Решение. Второй вышел, когда первый уже прошёл 6*2 = 12 км. Эти 12 км всадник преодолел за получаса, поэтому скорость сближения всадника и второго составила 24 км/ч. Поскольку всадник двигался второму навстречу, то скорость всадника равна 24 - 6 = 18 км/ч. Второй прошёл за 30 минут ровно 6 : 2 = 3 км. Первый прошёл за 30 + 40 = 70 минут, пока всадник ехал ко второму и ждал, пока тот напишет ответ. Скорость первого равна 6 км/ч или 1 км за 10 минут. Значит, за 70 минут первый прошёл 70 : 10 = 7 интервалов по 1 км, то есть 7 км. Значит, расстояние между первым и вторым увеличилось до 12 - 3 + 7 = 16 км, когда всадник поскакал обратно. После этого всадник начал скакать вдогонку первому. Их скорость сближения равна 18 - 6 = 12 км/ч или 2 км за 10 минут. Значит, он догонит первого через 16 : 2 = 8 интервалов по 10 минут, то есть через 80 минут или 1 ч 20 мин.
Ответ: 1 час 20 минут