Здравствуйте! В предыдущей статье мы рассмотрели основные принципы нахождения производных. Продублирую главную мысль в общих тезисах.
Повторение.
Шаг 1. ВНИМАТЕЛЬНО прочитать задание, определить вопрос: точка минимума/максимума или наибольшее/наименьшее значение? зафиксировать себе это отдельно, чтобы не забыть (30% ошибок из-за невнимательности уже на этом этапе).
Шаг 2. Ищем производную, приравниваем ее к нулю, получаем корни.
Шаг 3. Расставляем корни на прямой (если корень всего один - скорее всего он и является ответом или предответом)
Шаг 4. Определяем знаки интервалов, находим то, что нужно (минимум или максимум). Если вопрос был в этом => это ответ.
Шаг 5. Если просят найти наименьшее или наибольшее значение функции - подставляем минимум (для наименьшего) или максимум (для наибольшего) в исходную функцию.
Советы по упрощению.
Всегда упрощайте функцию, если есть такая возможность.
Например, вместо того, чтобы искать производную (x+3)², имеет смысл раскрыть скобку и получить x²+6x+9. Почему? Потому что в первом случае будет степенная функция со "сложным икс", а во втором - производная от суммы одночленов.
В рассматриваемых примерах я упрощаю по возможности, прошу обратить внимание:)
Рассмотрим примеры
1. Найдете точку минимума функции y=(x+13)^2*e^(6-x)
Находим производную по правилу умножения, предварительно немного упростив само выражение. Далее выносим e^(6-x) за скобку тк в дальнейшем нам придется решать уравнение: готовимся к нему, раскладывая на множители.
е - константа. Она не может быть равно нули ни при каком значении степени. А вот вторая часть - квадратное уравнение.
ВНИМАНИЕ! Мы можем преобразовать это уравнение (домножить на -1), но знаки интервалов ВСЕ РАВНО будут проверяться по части с -x²-24x-143.
Корни есть, расставляем. Для того, чтобы не забыть, куда мы подставляем и что получаем, напишем около оси y' и y. Знаки по производной, функция реагирует вслед за ней.
2. Найдите наибольшее значение функции y=ln(5x)-5x-5 на отрезке [0,1;0,5]
Самое главное - не запутаться при решении уравнения. Всего один корень, он принадлежит интервалу, указанному в самом начале. Не забываем, что вопрос был про значение ФУНКЦИИ => в ответе должен быть игрек, а пока что мы нашли только икс.
3. Найдите точку минимума функции y=5x-ln(x+4)^4+9
Аналогичная ситуация, что и в предыдущем, но на иксе останавливаемся.
4. Найдете наименьшее значение функции y=(2x^2-9x+8)/x на отрезке [0,5;10]
Знаки интервалов определятся только по y' и не забываем про вопрос задачи.
5. Найдете точку максимума функции y=(2x-3)cosx-2sinx+17, принадлежащую промежутку (0;pi/2)
Очень коварный тип задач. Получилось 2 корня, но один из них исключается границами, которые были обозначены в самом начале. Потом возникает вопрос "как вообще связаны обычные числа и тригонометрические функции?". Вспоминаем, что π≈3,14 и выясняем, что в переводе на дроби: π/2≈1,57 => 1,5 находится в интервале от [0;1,57].
Спасибо за внимание!