"Несмотря на наше критическое озарение (а может быть, благодаря ему),
мы сегодня менее, чем когда-либо раньше, уверены в основаниях,
на которых зиждется математика."
Герман Вейль
24 мая 2000 года Математический институт Клэя / Clay Mathematics Institute (США) объявил список "Проблем тысячелетия" (Millennium Prize Problems). Эти семь проблем определены как "важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет".
Почему-то среди "проблем тысячелетия" не оказалось главной проблемы для всей системы знания и познания - проблемы обоснования математики, которой уже более сотни лет.
Кризис оснований математики возник на рубеже XIX и XX веков в связи с поиском фундаментальных основ математики. Вся история математики и поиска её основ подробно представлена в книге профессора математики Мориса Клайна "Математика. Утрата определенности" / "Mathematics: The Loss of Certainty"
Из авторского «Вступления» к книге:
Эта книга о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на природу и роль математики. Ныне мы знаем, что математика не обладает теми качествами, которые некогда снискали ей всеобщее уважение и восхищение. Наши предшественники видели в математике непревзойдённый образец строгих рассуждений, свод незыблемых «истин в себе» и истин о законах природы. Главная тема этой книги — рассказ о том, как человек пришёл к осознанию ложности подобных представлений и к современному пониманию природы и роли математики.
Более двадцати лет назад мне удалось приобрести в букинистическом магазине книгу М.Клайна. После прочтения книги у меня появилось совершенно новое понимание всей истории становления математики, методики её преподавания в школе и вузе, а также преподавания предмета "Философия математики" для студентов - будущих математиков и преподавателей математики.
Здесь также важно привести очень интересный отзыв профессора Н.В. Софроновой на книгу М.Клайна "Математика. Утрата определенности", подталкивающий к глубокому размышлению не только математиков и преподавателей математики.
Также есть и критические отзывы на книгу М.Клайна, например, логика и философа математики Скотта Вайнштейна:
Книга профессора Клайна — живой рассказ об увлекательной теме. Однако его выводы идут слишком далеко и во многих случаях необоснованны. Урок, который нужно извлечь из фундаментальных исследований двадцатого века, заключается не в том, что математика находится в жалком состоянии, а в том, насколько глубокие философские вопросы о математике могут быть освещены, если не решены, самой математикой. Теоремы Гёделя действительно указывают пределы того, что мы можем узнать в математике, но они также демонстрируют и великие высоты, к которым человеческий разум может подняться через математическую мысль.
И очень хорошо, что "выводы идут слишком далеко". К "первоначалу" математики, а значит и знания в целом. Математика - "язык Природы", "язык Вселенной". Но на каком предельно точном языке говорит с нами Вселенная?
Отмечу наиболее важные для меня "гносеологические маяки" из книги М.Клайна:
Любая цивилизация, достойная так называться, занимается поиском истин.
Если хочешь разобраться в настоящем, следует прежде всего заглянуть в прошлое!
Последние исследования в области оснований математики дошли до той черты, за которой открывается лишь первозданный хаос.
Но разве нет власти, способной наложить запрет на массовое производство новых результатов на том основании, что, прежде чем продвигаться дальше, необходимо навести порядок в основаниях математики?
Будущее математики никогда не внушало особых надежд. Природа математики никогда не была вполне понятной. Тонкий анализ очевидного привел к нескончаемой цепи осложнений. Но математика продолжает бороться с проблемами, возникающими в ее основаниях. Как сказал Декарт, "я буду продолжать до тех пор, пока не установлю нечто несомненно истинное или по крайней мере не устраню все сомнения в том, что ничего несомненно истинного не существует."
М.Клайн особо отметил обеспокоенность будущим математики, высказанную выдающимся математиком, физиком и педагогом Джоном фон Нейманом:
На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и в третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие всё более и более определяется чисто эстетическими соображениями; она всё более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплин превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отделении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» математической дисциплине грозит опасность вырождения... Математики продолжали всё дальше отходить от естествознания и следовать своим собственным курсом.
Выдающийся французский математик XX в. Жак Адамар утверждал в работе "Исследование психологии процесса изобретения в области математики", что, "хотя истина еще не известна нам, она предсуществует и неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать."
Философский завет лауреата премии Филдса математика В.А.Воеводского всем искателям истины:
Материальная реальность есть абсолютный судья истины.
И ещё один философский завет математика и логика К.Гёделя:
"Материя будет одухотворена, когда будет найдена истинная теория физики."
Итоговый завет Бертрана Рассела всем искателям истины:
Я жаждал определенности примерно так же, как иные жаждут обрести религиозную веру. Я полагал, что найти определенность более вероятно в математике, чем где-либо еще. Выяснилось, однако, что математические доказательства, на принятие которых мной мои учителя возлагали такие надежды, изобилуют грубыми логическими ошибками и что определенность, если и кроется в математике, то заведомо в какой-нибудь новой области, обоснованной более надежно, чем традиционные области с их, казалось бы, незыблемыми истинами.
Философия - Самая строгая наука и радостная Наука, "мать всех наук".
Примечание:
* Эрик Темпл Белл, математик и историк математики